En libro de Hatcher en topología algebraica en el capítulo 0 (donde se discute la propiedad de extensión de homotopía) se realiza la afirmación de que no hay ninguna retracción de $I^2$ $I \times \{0\} \cup A \times I$ donde $A = \{0, 1, \frac 12 , \frac 13, \ldots \}$. Sin embargo no podía venir para arriba con una prueba. Se puede definir una contracción si existe solamente un número finito de "dientes en el peine". No está claro por qué continuidad falla (presumiblemente) en 0 si uno intenta ampliar esta contracción para el caso infinito. Espero que alguien puede ayudar.
Respuestas
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Si $f$ es una retracción, entonces debe mapa de $(0,1)$$(0,1)$. Porque es continua, debe haber un balón $A$ centrada en $(0,1)$ tal que $f(A)$ está contenido en la bola de $B$ radio $\frac 12$ centrada en $(0,1)$.
Sin embargo $A$ debe contener un punto de la forma $(\frac 1n,1)$ algunos $n$ (que también se asigna a sí mismo con arreglo a $f$) y, a continuación, los puntos de $(\frac tn,1)$ $0\le t\le 1$ de toda la mentira en $A$. A continuación, $t\to f(\frac tn,1)$ es un camino en el peine de$(0,1)$$(\frac 1n,1)$. Puesto que no hay tal camino en el peine que no se desplazan fuera de $B$, $f$ no puede existir.
DiGi
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1925
Deje $C$ ser el peine espacio, y supongamos que $r:I^2\to C$ es una retracción. Deje $\pi:I^2\to I$ ser la proyección de la primera coordenada, y definir $f:I\to I:x\mapsto\pi\big(f(\langle x,1\rangle)\big)$; claramente $f$ es continua, y $f(x)=x$$x\in\{0\}\cup\{1/n:n\in\Bbb Z^+\}$.
Para $n\in\Bbb Z^+$ deje $p_n=\left\langle\frac1n,1\right\rangle$. Deje $B_n$ ser una bola abierta centrada en $p_n$ de radio de menos de $\frac1n-\frac1{n+1}$; desde $r$ es continuo, no es una bola de $B_n'$ de algunos radius $\epsilon_n$ centrada en $p_n$ tal que $r[B_n']\subseteq B_n$. De ello se desprende que $f(x)=\frac1n$ todos los $x\in I$ tal que $\left|x-\frac1n\right|<\epsilon_n$.
Ahora considere el $x\in\left(\frac1{n+1},\frac1n\right)$. Si $x<\frac1{n+1}+\epsilon_{n+1}$,$f(x)<x$, y si $x>\frac1n-\epsilon_n$,$f(x)>x$. Por la continuidad de $f(x)-x$ no debe ser un punto de $x_n\in\left[\frac1{n+1}+\epsilon_{n+1},\frac1n-\epsilon_n\right]$ tal que $f(x_n)=x_n$. Esto es posible, sin embargo, iff $r(\langle x_n,1\rangle)=\langle x_n,0\rangle$. Para $n\in\Bbb Z^+$ deje $q_n=\langle x_n,1\rangle$. Entonces
$$\begin{align*} &\langle q_n:n\in\Bbb Z^+\rangle\to\langle 0,1\rangle\;,\\ &\langle p_n:n\in\Bbb Z^+\rangle\to\langle 0,1\rangle\;,\\ &\langle r(q_n):n\in\Bbb Z^+\rangle\to\langle 0,0\rangle\;,\text{ and}\\ &\langle r(p_n):n\in\Bbb Z^+\rangle\to\langle 0,1\rangle\;, \end{align*}$$
lo cual es imposible.
