Isomorfismo entre $\mathbb{C}^{n}$ y la complejificación de $\mathbb{R}^{n}$

Question

¿Cuál es una manera fácil (sin tensores) de demostrar que la complejización del espacio euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$ da el espacio unitario $\mathbb {C} ^{n}$ . O más detallado: Me gustaría mostrar, que $\mathbb{C}^{n}$ es isomorfo a la complejificación $\left(\mathbb{R}^{n}\right)_{\mathbb{C}}$ de $\mathbb{R}^{n}$ . Lo pensé así: $\mathbb{R}^{n}$ tiene la base $$ e_{j}=(0, \ldots, 0,1,0, \ldots, 0) \in \mathbb{R}^{n}, \quad j=1, \ldots, n . $$ Desde el $1$ en la posición $j$ también es un número complejo, $e_{j}$ también puede considerarse un elemento de $\mathbb{C}^{n}$ por lo que existe un isomorfismo. ¿Es esta ya una explicación aceptable?

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Definición de complejificación sin tensores:

Sea $V$ sea un espacio vectorial sobre el campo de los números reales $\mathbb{R}$ . La complejificación de $V$ es la suma directa $$ V_{\mathbb{C}}=V \oplus V=V \times V $$ En el nuevo espacio, la adición es por componentes $$ (x, y)+\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=\left(x+x^{\prime}, y+y^{\prime}\right) $$ y la multiplicación escalar con $\alpha+\beta i \in \mathbb{C}$ por $$ (\alpha+\beta i)(x, y)=(\alpha x-\beta y, \beta x+\alpha y) $$ se define. Esto hace que $V_{\mathbb{C}}$ un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números complejos $\mathbb{C}$ .

Por analogía con la notación de los números complejos, para el par $(x, y) \in V_{\mathbb{C}}$ también se escribe $x+iy$

Answer 1

Mi pregunta retórica para ti es, ¿cuál es tu caracterización (no "definición") de "complejificación" de un espacio vectorial real, para que sepas que tu "construcción/definición" da lo mismo que otras versiones?

Una forma un poco rebuscada, pero creo que muy esclarecedora, de describir la complejificación $CV$ de un espacio vectorial real $V$ es como un "functor adjunto" al functor olvidadizo $\Phi$ que toma un espacio vectorial complejo $W$ y "olvida" que tiene complejo multiplicación escalar, pero sólo "recuerda" que tiene real multiplicación escalar. Entonces la "complejificación" $C$ es un functor adjunto en el sentido de que $$ \mathrm{Hom}_\mathbb C(CV,W)\;\approx\; \mathrm{Hom}_\mathbb R(V,\Phi W) $$ para todo espacio vectorial complejo $W$ , y que el isomorfismo es "natural" en un sentido bastante razonable, que los homs de espacios vectoriales reales y complejos encajan con él.

Como de costumbre, esto demuestra la unicidad hasta el isomorfismo único, si es que la cosa existe. :)

El producto tensorial típico (o Hom) construcción de complejificación se demuestra que cumple esta caracterización.

Es de suponer que la construcción sin producto tensorial también puede demostrarlo. :)

Aún/y, "extensión de escalares" (no sólo sobre real/complejo, sino mucho más en general) para módulos libres también puede demostrarse que se comporta como usted indica. Por razones igualmente muy generales. :)

Answer 2

Si estás familiarizado con los functores adjuntos y los espacios vectoriales libres, esta explicación te resultará fácil. Si no, será incomprensible.

El functor de complejificación $C : \mathbb{R}-Vec \to \mathbb{C}-Vec$ es el adjunto izquierdo del functor olvido $U_3 : \mathbb{C}-Vec \to \mathbb{R}-Vec$ .

Obsérvese que los functores libres $F_1 : Set \to \mathbb{R}-Vec$ y $F_2 : Set \to \mathbb{C}-Vec$ son los adjuntos izquierdos de los functores olvidadizos $U_1 : \mathbb{R}-Vec \to Set$ y $U_2 : \mathbb{C}-Vec \to Set$ respectivamente.

Ahora tenga en cuenta que $U_1 \circ U_3 = U_2$ . Por lo tanto, tomando los adjuntos izquierdos, tenemos $C \circ F_1 \cong F_2$ . En otras palabras, el espacio vectorial complejo libre sobre un conjunto $S$ es la complexificación del espacio vectorial real libre sobre el conjunto $S$ .

Ahora $\mathbb{R}^n$ es el espacio vectorial libre en $n$ elementos. Por lo tanto, su complexificación es el espacio vectorial complejo libre sobre $n$ elementos, es decir, $\mathbb{R}^n$ .