¿Por qué $\mathbb{R}^2$ una unión contable de rangos de curvas?

Question

Me encontré con esta pregunta en el tablón de topología en AoPS, donde realmente no había recibido una respuesta. Parece interesante, pero no estoy seguro de cómo resolverla. Espero encontrar una respuesta aquí.

La pregunta, de Dudley Análisis real y probabilidad va como

A $C^1$ es una función $t\mapsto (f(t),g(t))$ de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^2$ donde las derivadas $f'(t)$ y $g'(t)$ existen y son continuas para todo $t$ . Demuestre que $\mathbb{R}^2$ no es una unión contable de rangos de $C^1$ curvas.

En el libro de google también hay una pista para mostrar el rango de un $C^1$ curva en un intervalo finito no es densa en ninguna parte.

Así que, por curiosidad, ¿cuál es una forma adecuada de probar la insinuación de que el alcance de un $C^1$ curva en un intervalo finito no es densa en ninguna parte ? He leído las primeras secciones del libro hasta el punto del ejercicio, y cubre compacidad, topologías producto, espacios métricos completos y compactos y métricas sobre espacios de funciones, y los teoremas de Dini, Arzela-Ascoli, y el Teorema de Stone Weierstrass. Pongo una recompensa para ver si hay una solución básica usando sólo estos conocimientos, aunque no sea la más elegante.

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Añadido : He investigado un poco basándome en los comentarios que he recibido. Sé que $\mathbb{R}^2$ es un espacio métrico completo, y el Teorema de la Categoría de Baire dice que todo espacio métrico completo es de la segunda categoría. Puedo descomponer una curva en un número contable de curvas definidas en intervalos finitos, (como intervalos de longitud $1$ ¿tal vez?). Entonces, si $\mathbb{R}^2$ es la unión contable de rangos de curvas, también sería la unión contable de los rangos de estas curvas contablemente muchas más pequeñas con dominios finitos. Sin embargo, si cada curva de un intervalo finito no tiene ningún rango denso, entonces $\mathbb{R}^2$ sería la unión de un número contable de conjuntos densos en ninguna parte y entonces sería de la primera categoría, contrariamente al Teorema de la Categoría Baire.

Entonces, ¿por qué exactamente el rango de una curva en un intervalo finito no es denso en ninguna parte? Parece intuitivamente cierto. Si dejo que $B=\{(f(t),g(t))\mid t\in I\}$ para algún intervalo finito $I\subset\mathbb{R}$ sea el rango de algún $C^1$ curva, entonces mi sensación es que este rango parece algún "segmento" en $\mathbb{R}^2$ . Si $U\subset\mathbb{R}^2$ es cualquier conjunto abierto, quiero encontrar un conjunto abierto $V\subset U$ donde $B\cap V=\emptyset$ . Intuitivamente, parece que podría simplemente tomar alguna bola abierta de radio suficientemente pequeño en $U$ que no cumple $B$ en el plano, por lo que el alcance no es denso en ninguna parte. ¿Hay alguna manera más formal de expresar esto? Gracias.

Answer 1

La imagen de un $C^1$ tiene medida cero por Lema de Sard y la unión contable de conjuntos de medida cero tiene medida cero.

Answer 2

He aquí una respuesta sin teoría de medidas ni métodos avanzados. En primer lugar, si una curva $\gamma\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ es $C^1$ entonces, para cualquier $a < b$ la restricción de $\gamma$ a $[a,b]$ tiene longitud finita $\int_a^b\vert\gamma^\prime(t)\vert\,dt$ .

Ahora bien, una curva de longitud finita no puede ser denso el cuadrado unitario $[0,1]^2$ . Para cualquier número entero positivo $n$ considere la $(n+1)^2$ puntos $(i/n,j/n)$ , $0\le i,j\le n$ . La distancia entre dos de ellos es como mínimo $1/n$ . Por lo tanto, cualquier curva que sea densa en el cuadrado unitario debe unir estos puntos y, por lo tanto, tener una longitud de al menos $((n+1)^2-1)/n=n+2$ . Sea $n$ ir hasta el infinito. Por escalamiento, esto demuestra que una curva de longitud finita no puede ser densa en ningún subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$ .

Supongamos ahora que tenemos un conjunto contable de $C^1$ curvas $\gamma^i\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ ( $i=1,2,\ldots$ ). Entonces, $\gamma^{ij}=\gamma^i\vert_{[-j,j]}$ ( $i,j=1,2,\ldots$ ) es un conjunto contable de curvas de longitud finita, por lo que sus imágenes son subconjuntos compactos y no densos en ninguna parte de $\mathbb{R}^2$ .

Por último, el teorema de la categoría de Baire dice que una secuencia contable de subconjuntos densos cerrados en ninguna parte de $\mathbb{R}^2$ no puede cubrir $\mathbb{R}^2$ .

Answer 3

A $C^1$ curva en un intervalo compacto no tiene rango denso en ninguna parte: es porque es Lipschitz, ya que su derivada está acotada. Las funciones Lipschitz no pueden aumentar la dimensión de Hausdorff, que es menor que $2$ para un intervalo. Así que el intervalo tiene dos medidas dimensionales $0$ y es cerrado, por lo que no contiene ningún conjunto abierto.

Answer 4

Se puede construir un barrio tubular de tal curva que tenga cualquier área deseada. Es el lugar de los puntos

$$(f(t),g(t)) + u \frac{\varepsilon(t)}{2}(g'(t),-f'(t))$$

donde $t$ oscila entre $\mathbb{R}$ , $u$ oscila entre $-1$ a $1$ y $\varepsilon(t)$ se elige adecuadamente. Por ejemplo, para todo $t$ donde la derivada de la curva es distinta de cero, sea $\varepsilon(t) = |\varepsilon|/(\pi(1+t^2)||(f'(t),g'(t))||)$ (y en caso contrario dejar que $\varepsilon(t)=0$ ) para reducir el área a $\varepsilon + O(\varepsilon^2)$ , $\varepsilon \gt 0$ . (Unas estimaciones sencillas harán que esto sea riguroso: no hace falta teoría de la medida ni análisis rebuscados. Basta con dividir la integral en intervalos en los que ni $f'(t)$ ni $g'(t)$ varía mucho).

Dada una secuencia contable de curvas $(\gamma_i)_{1 \le i}$ crear barrios tubulares con $\varepsilon_i(t)$ elegido para hacer el vecindario tubular de $\gamma_i$ menos de $2^{-i}$ en la zona. El área de la unión de esos vecindarios --que obviamente incluye la unión de las curvas-- no puede exceder de $\sum_i \varepsilon_i = 1$ de donde no puede llenar $\mathbb{R}^2$ .

Este enfoque se generaliza a los submanifolds diferenciables de $\mathbb{R}^n$ .

Answer 5

EDIT: Esta prueba tiene un error.

Si quieres hacerlo mediante el teorema de la categoría Baire, aquí tienes un esbozo de aproximación. Aunque no estoy seguro de que sea el más sencillo.

1. Podemos reparametrizar cualquier curva de forma que la derivada $(f'(t), g'(t)) \ne (0,0)$ para todos $t \in I$ . [En realidad, no necesariamente podemos hacer eso].

2. Si $(f'(t), g'(t)) \ne (0,0)$ entonces existe un intervalo $[t-\epsilon, t+\epsilon]$ en el que $(f(s), g(s))$ es inyectiva.

3. Podemos cubrir $I$ por una unión finita de dichos intervalos.

4. Restringido a un conjunto $[t-\epsilon, t+\epsilon]$ en la que es inyectiva, la curva es una incrustación: un homeomorfismo sobre su imagen. (Es un mapa inyectivo y continuo de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff).

5. Una copia homeomórfica de un intervalo en $\mathbb{R}^2$ debe estar en ningún lugar denso. (Es cerrado, y si contiene una bola, entonces el intervalo unitario contiene un conjunto homeomorfo a una bola de $\mathbb{R}^2$ . ¿Por qué es imposible?)

6. Así, la imagen de la curva es una unión finita de conjuntos densos de ninguna parte.

7. Teorema de la categoría de Baire.