Noción útil de representación de Galois no ramificada

Question

Sea $\mathbf C(t)$ sea el campo de las funciones racionales y sea $\overline{\mathbf C(t)}$ sea un cierre algebraico. Sea $G$ sea el grupo de Galois de $\overline {\mathbf C(t)}$ en $\mathbf C(t)$ .

Sea $\rho:G \to GL_d(\mathbf Q_\ell)$ sea una representación de Galois.

¿Existe una noción útil de "unramified" en $x$ donde $x$ es un punto de $\mathbf P^1_{\mathbf C}$ ?

Intento imitar la situación aritmética (sustituyendo $\mathbf C(t)$ por $\mathbf{Q}$ y $x$ por un número primo $p$ ), pero esto me da que $\rho$ está unramificado en todas partes. ¿Alguien tiene alguna sugerencia? Me interesaría mucho saber si existe una noción útil de ramificación en este contexto.

Esto es lo que me gustaría que satisficiera tal noción de ramificación.

Sea $X$ sea una variedad proyectiva lisa (digamos de tipo general) sobre $\mathbf{C}(t)$ que tiene un modelo proyectivo suave sobre $\mathbf{A}^1$ pero no más de $\mathbf{P}^1$ . Entonces, me gustaría que la representación de Galois asociada (a través de la cohomología etale de $X_{\overline{\mathbf C(T)}}$ ) para ser unramified en absoluto $x$ en $\mathbf{A}^1$ y ramificarse en $\infty$ .

Answer 1

La definición estándar de "no ramificado" se aplica al caso del campo de funciones, por lo que cualquier cubierta ramificada finita de la recta proyectiva da lugar a una representación de Galois que está ramificada en un número finito de lugares. En particular, una representación del grupo de Galois absoluto de $\mathbb{C}(t)$ que no está codificado en $\mathbb{A}^1$ no es más que una representación del grupo fundamental de $\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}$ es decir, el grupo trivial.

Sin embargo, hay una forma de obtener un objeto no trivial siguiendo una conjetura de diccionario entre representaciones de Galois en característica $p$ variedades y $D$ -sobre variedades complejas. En este diccionario, la ramificación salvaje (que no se da en la característica cero) corresponde a singularidades irregulares (que no aparecen en la correspondencia habitual Riemann-Hilbert). En particular, la gavilla de Artin-Schreier en una característica $p$ está vinculada a la línea $D$ -sobre la recta compleja cuyas soluciones globales son funciones exponenciales $k e^z$ . Son similares en el sentido de que la representación de Artin-Schreier no está ramificada lejos del infinito pero tiene una ramificación salvaje allí, y $e^z$ es entero pero tiene una singularidad esencial en el infinito.

En conclusión, su variedad proyectiva lisa sobre $\mathbb{C}(t)$ puede arrojar algo interesante si hace algún tipo de $D$ -módulo pushforward en lugar de mirar la representación de Galois.

Answer 2

Creo que los puntos de ramificación son los puntos alrededor de los cuales hay monodromía. Un punto $x$ es ramificado si el elemento del grupo de Galois correspondiente a un bucle alrededor de $x$ tiene una imagen no trivial bajo $\rho$ . En su ejemplo, si $X_t$ representa la fibra por encima de un punto $t$ en la línea afín y empiezas en $t_0$ y recorrer un bucle (alrededor del infinito) prestando atención a cómo una base de la cohomología de $X_{t_0}$ cambia a medida que la continúas analíticamente, y cuando vuelves a $t_0$ la base cambiada, entonces el infinito es ramificado.

Answer 3

Sí. Para $t$ una coordenada local en un punto $P$ elija una incrustación $\overline{\mathbb C(t)} \subset \overline {\mathbb C((t))}$ que envía $t$ a $t$ . Esto convierte cada representación del grupo de Galois absoluto de $\mathbb C(t)$ en una representación del grupo de Galois absoluto de $\mathbb C((t))$ . Defina la representación de Galois como unramificada en $P$ si la segunda representación es trivial.

Aquí $\mathbb C((t))$ desempeña un papel análogo al de la máxima extensión unramificada de la $p$ - los números radicales. Se podría utilizar equivalentemente el campo de fracciones del anillo local etale en $P$ que es $\mathbb C((t)) \cap \overline{\mathbb C(t)}$ .

Para demostrar que esto tiene la propiedad que desea, utilizamos el cambio de base suave y adecuada, que juntos implican que su representación de Galois es la fibra genérica de una gavilla sobre $\mathbb P^1$ que es lisse en algún conjunto abierto $U$ . Pero una gavilla es lisse en $U$ exactamente cuando se trivializa modulo $l^n$ en alguna portada etale de $U$ para cada $n$ . El punto genérico de esa cubierta etale es una extensión de campo de $\mathbb C(t)$ que está contenido en el campo de fracciones del anillo local etale de cada punto en $P \in U$ por lo que está contenido en $\mathbb C((t))$ . Como la gavilla es trivial en ese punto genérico, el mod $l^n$ La representación de Galois es trivial en ese campo, así que es trivial en $\mathbb C((t))$ por lo que toda la representación de Galois es trivial en $\mathbb C((t))$ .

Obsérvese que no existen representaciones de Galois no ramificadas en $\mathbb A^1$ pero ramificada en el último punto, porque no hay tapas no ramificadas en $\mathbb A^1$ pero ramificado en el último punto. De hecho, rara vez se encontrará una familia que sea mala en un solo punto de $\mathbb P^1$ . Pero si eliminara dos o tres puntos, su criterio tendría mucho sentido.

Por supuesto, nunca se sabrá con certeza que se ramificará en el punto malo - por ejemplo, $H^0$ no lo será.