Inexistencia de números naturales tales que $\sqrt{n} +\sqrt{n+1} <\sqrt{x} +\sqrt{y} <\sqrt{4n+2}$

Question

Demuestre que para cualquier $n\in\mathbb{N}$ no existen números naturales $x,y$ tal que $$\sqrt{n} +\sqrt{n+1} <\sqrt{x} +\sqrt{y} <\sqrt{4n+2}.$$

Answer 1

Pista: Supongamos, por el contrario, que existe tal $x, y$ . Mostrar $x+y \geq 2n+1$ . Escriba a $x+y=2n+1+k, k \geq 0$ y mostrar $(2n+1-k)^2-1<4xy<(2n+1-k)^2$ .

Pista 2: Para mostrar la última parte, eleva al cuadrado la desigualdad original, desplaza algunos términos y eleva de nuevo al cuadrado. Demostrar el límite inferior requerirá un poco más de trabajo que el límite superior.

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Edita: Ya que parece que tienes tantas dificultades con el límite inferior, supongo que lo mejor será que te lo explique con más detalle.

Como se menciona en la segunda pista, eleva al cuadrado ambos lados y réstales $x+y$ para obtener

$$2n+1+2\sqrt{n}\sqrt{n+1}-(x+y)<2\sqrt{xy}<4n+2-(x+y)$$

Desde $x+y=2n+1+k$ ,

$$2\sqrt{n}\sqrt{n+1}-k<2\sqrt{xy}<2n+1-k$$

El límite superior implica trivialmente $k<2n+1$ donc $k \leq 2n$ donc $k<2\sqrt{n}\sqrt{n+1}$ .

Por lo tanto, el límite inferior es positivo, y podemos volver a elevar al cuadrado.

$$(2\sqrt{n}\sqrt{n+1}-k)^2<4xy<(2n+1-k)^2$$

Para el límite inferior,

\begin{align} & (2\sqrt{n}\sqrt{n+1}-k)^2-((2n+1-k)^2-1)\\ & =(4n(n+1)+k^2-4k\sqrt{n}\sqrt{n+1})-(4n^2+4n+1+k^2-2k(2n+1)-1)\\ &=2k(2n+1-2\sqrt{n}\sqrt{n+1}) \\ &\geq 0 \end{align}