Eche un vistazo aquí
¿Cómo se expresan las bases ordenadas de los polinomios en forma de matrices? Álgebra lineal.
En tu caso conoces la matriz de la base canónica:
$$T_A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$$
Y otras dos bases:
$$\mathcal{B} = \{(1,1),(1,0)\}$$ y
$$\mathcal{C} = \{(4,7),(4,8)\}$$
y tienen que encontrar las matrices $T_{B}$ y $T_{C}$ con respecto a estas dos bases.
Puedes seguir el ejemplo anterior para hacerlo.
Veamos por ejemplo cómo encontrar fuera $T_B$ .
Sea $w$ cualquier vector dado en la base canónica e indicar con: $v_1=(1,1)$ y $v_2=(1,0)$ los dos vectores de la base $\mathcal{B}$ dado también con respecto a la base canónica.
Buscamos el coeficiente $x_1$ y $x_2$ tal que:
$$w=x_1\cdot v_1+x_2\cdot v_2$$
o en forma de matriz:
$$w=V\cdot x$$
$$V=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$
Tenga en cuenta que $V$ contiene como columna los vectores de la nueva base respecto a la base canónica. Es importante señalar que $V$ representan la matriz de cambio de base de $\mathcal{B}$ a la canónica.
Así, las componentes de cualquier vector $w$ con respecto a la nueva base vienen dadas por:
$$x=V^{-1}\cdot w$$
$$V^{-1}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$
Así $V^{-1}$ representan la matriz de cambio de base de la base canónica a la nueva base $\mathcal{B}$ .
La asignación de $w$ con respecto a la base canónica viene dada por:
$$u=T_A\cdot w$$
Dado que buscamos la matriz $T_B$ que representan $T$ con respecto a la nueva base $\mathcal{B}$ introduzcamos el cambio de base:
$u=V \cdot y$
$w=V \cdot x$
para obtener:
$$u=T_A\cdot w \iff V \cdot y=T_A\cdot V \cdot x \iff y=V^{-1}T_A\cdot V \cdot x=T_B\cdot x$$
Así, la matriz :
$$T_B=V^{-1}\cdot T_A\cdot V$$
representan la t ransformación con respecto a la nueva base $\mathcal{B}$ .
Para $T_C$ puede proceder de la misma manera encontrando: $$T_C=W^{-1}\cdot T_A\cdot W$$ Ahora que $$T_B=V^{-1} \cdot T_A\cdot V \implies T_A=V \cdot T_B\cdot V^{-1}$$ concluyes $$T_C=W^{-1} \cdot T_A\cdot W=W^{-1} \cdot V \cdot T_B\cdot V^{-1}\cdot W$$
