Dado que el Principio del Agujero de Paloma afirma que "Cuando n + 1 palomas se posan en n agujeros, debe haber algún agujero que contenga al menos dos palomas", demuéstrelo por contradicción.
¿cómo hacerlo sin utilizar un ejemplo concreto?
Dado que el Principio del Agujero de Paloma afirma que "Cuando n + 1 palomas se posan en n agujeros, debe haber algún agujero que contenga al menos dos palomas", demuéstrelo por contradicción.
¿cómo hacerlo sin utilizar un ejemplo concreto?
Supongamos que puede encajar $n + 1$ palomas en $n$ agujeros sin que ninguno contenga al menos dos palomas. Numere los $n$ agujeros para los que esto es posible a partir de $1$ a $n$ y que $a_i$ denota el número de palomas en el agujero $i$ . Por supuesto, cada $a_i$ es $0$ ou $1$ . Puesto que cada paloma está en un agujero, debe darse el caso de que $a_1 + \cdots + a_n$ es el número total de palomas. Es decir $$ a_1 + \cdots + a_n = n + 1 $$ Por otra parte, tenemos $a_i \leq 1$ para todos $i$ (hay como máximo $1$ paloma en cada agujero). Así $$ a_1 + \cdots + a_n \leq 1 + \cdots + 1 = n $$ (si sumamos $n$ cosas, cada una de las cuales es como máximo $1$ el mayor número que podemos obtener es $n$ ). Por lo tanto, hemos demostrado $$ n + 1 \leq n $$ Esto implica $1 \leq 0$ lo cual es absurdo.
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