$ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x+1)}{f(x)} = k$ con $0 \leq k<1 $ encontrar la naturaleza de $\int_{0}^{+\infty} f(t)dt$

Question

Deje $ \:f: \mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}_{+}^{*}$ continious

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x+1)}{f(x)} = k$ con $0 \leq k<1 $

encontrar la naturaleza de $\int_{0}^{+\infty} f(t)dt$

utilizando la definición del límite, existe $(A,) \in \mathbb{R}_{+}\times [0;1[ $ como $ \forall x \geq A, \frac{f(x+1)}{f(x)} \leq $ utilizando la recurrencia tenemos $ \forall n \in \mathbb{N},\forall x \geq A, f(x+n) \leq ^n f(x) $ Así pues $\lim_{n \to +\infty} f(x+n)=0$ con $x \geq A $ conjunto, así $\lim_{x \to +\infty} f(x)=0$

entonces tenemos, $\frac{f(n+1+x)}{f(n+x)} \leq \frac{^{n+1}}{^n}$ así (comparación con una serie geométrica) $\sum f(x+n) $ converge con $x \geq A $ configure

En resumen $\exists A \in \mathbb{R}_{+} : \forall x \geq A, \sum f(x+n) $ converge y no puedo ir más allá;

Answer 1

Pista:

Demuestra que $f(x)$ es decreciente para $x\geq A$ . Entonces puedes usar tu idea de la serie geométrica para atrapar la integral a lo largo de la cola entre dos sumas de Riemann, una con el método del punto final izquierdo y la otra con el método del punto final derecho. Esto es esencialmente la prueba integral.

Obviamente, $f$ se integra en $[0,a)$ desde $f$ es continua y el conjunto está acotado.