Integración Gaussiana.

Question

Considere el Integral Gaussian $$I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \ dx$ $

El truco habitual de calcular esto es considerar $$I^2 = \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \ dx \right) \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}} \ dy \right)$ $

y convertir a coordenadas polares. Tenemos $\sqrt{\pi}$ como la respuesta.

¿Es posible obtener la misma respuesta considerando $I^{3}, I^{4}, \dots, I^{n}$?

Answer 1

Definir $$ I_n = \prod_{i=1}^n \int^{\infty}_{-\infty} e^{-x_i^2}\,dx_i = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-|x|^2}\,dx, $$ donde$x = (x_1,\ldots,x_n)$$|x| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$.

Por esférica coordinar la integración de transformar en $\mathbb{R}^n$:

$$ I_n = \int_0^\infty\left\{\int_{\parcial B(0,r)} e^{-|x|^2}\,dS\right\}\,dr.. $$ Para $e^{-|x|^2} = e^{-r^2}$ $\partial B(0,r)$ que es una constante cuando el radio es fijo, por lo tanto integral anterior se lee: $$ I_n = \int_0^\infty e^{-r^2}\left\{\int_{\parcial B(0,r)} 1\,dS\right\}\,dr.. $$ Ahora $$ \int_{\parcial B(0,r)} 1\,dS = |\parcial B(0,r)|= \omega_n r^{n-1}, $$ que es el área de la superficie de la $(n-1)$-esfera con un radio $r$, e $\omega_n$ es el área de la superficie de la unidad de $(n-1)$-esfera: $$ \omega_n = \frac{n\pi^{n/2}}{\Gamma\left(1+\frac{n}{2}\right)}, $$ aviso esto puede ser computada por una relación recursiva o tomar derivado del elemento de volumen de la $n$-ball.

Por lo tanto $$ I_n = \omega_n\int_0^\infty e^{-r^2}r^{n-1}\,dr = \frac{1}{2}\omega_n \Gamma\left(\frac{n}{2}\right) . $$

Ahora por la función Gamma de la propiedad (demostrado por integración por partes): $$ \Gamma\left(1+\frac{n}{2}\right) = \frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right). $$ Ahí va el resultado deseado: $$ I_n = \pi^{n/2}. $$

Answer 2

Durante tres dimensiones (si puedo averiguar dimensiones superiores voy a editar), uno podría tratar de un argumento similar mediante el uso de coordenadas esféricas. Si usted puede realizar la integral, $$\int_0^\infty r^2 e^{-r^2} dr$$, entonces podemos calcular el deseado integral. Pero Esta pregunta se refiere a esto. Para ello es necesario el esférico del cambio de coordenadas de ver esto. Simplemente imitar la prueba para el caso de dos dimensiones. Voy a dejar el trabajo para usted.

Editar parece Que en dimensiones superiores si uno sabe cómo calcular la integral, $$\int_0^\infty r^{n-1} e^{-r^2} dr$ $ , entonces podemos calcular la integral en esencialmente de la misma manera. Para ver este necesita de dimensiones superiores esférica coordenadas. Para esto ver aquí.