Valor esperado con un producto de Kronecker y una hipótesis de distribución gaussiana

Question

Cuál es el valor esperado, $ \mathbb{E}\left[ I \otimes \left( \operatorname{diag}(ZZ^T\mathbf{1}) - ZZ^T\right)\right]$ donde $Z \sim N(0, \sigma^2I) $ ¿es una variable aleatoria? El producto de Kronecker y el $diag$ es donde se instala la confusión.

Pistas:

i) $ \mathbb{E}\left[ I \otimes \left( \operatorname{diag}(ZZ^T\mathbf{1}) - ZZ^T\right)\right]= \left[ I \otimes \mathbb{E} \left( \operatorname{diag}(ZZ^T\mathbf{1}) - ZZ^T\right)\right]$

ii) Supongo $ZZ^T \sim nWishart(.)$ donde $n$ es el número de filas de $Z$ pero no estoy muy seguro.

Answer 1

No veo lo que el producto de Kronecker está haciendo allí, es sólo la creación de una matriz de bloques diagonales fueron cada bloque diagonal es una copia del segundo factor.

El componente de $diag(ZZ^T\mathbf1)-ZZ^T$ en la posición $(i,j)$ es $$ \left(\sum_kZ_k\right) Z_i\delta_{ij}-Z_iZ_j $$ Ahora debería ser trivial calcular la expectativa y obtener cero.