existencia de un subgrupo con índice fijo

Question

Sea $G$ sea una $p$ -grupo y $K$ sea un subgrupo normal. Quiero demostrar que existe un subgrupo normal $N$ de $G$ tal que $N \leq K$ y $[K:N]=p$ . Lo intenté de esta manera: a partir del teorema de Sylow, existe una serie normal $G=G_0 \rhd G_1 \rhd \cdots \rhd G_a=\{e\}$ tal que $|G_i/G_{i+1}|=p$ entonces $K=K \cap G_0 \geq K \cap G_1 \geq \cdots \geq K \cap G_a=\{e\}$ y $[K \cap G_i : K\cap G_{i+1}] \leq p$ . Por lo tanto, existe algún $i$ tal que $[K:K \cap G_i]=p$ . El problema es que no puedo concluir que $K \cap G_i$ es normal en $G$ . ¿Es erróneo este planteamiento? ¿Cómo puedo demostrarlo?

(Nota. De hecho, sólo me interesa un caso: cuando $K=G''$ (el subgrupo conmutador del subgrupo conmutador))

Answer 1

Pistas:

Usando el todopoderoso teorema que dice que un finito $\;p$ - tiene un centro no trivial, demuéstrese por inducción en $\;n\;$ que cualquier grupo de orden $\;p^n\;$ tiene un subgrupo normal de orden $\;p^k\;$ para todos $\;0\le k\le n\;$ .

Esto resuelve de una vez tu pregunta...

Añadido ya que no me di cuenta del requisito $\;N\lhd G\;$ también..."

Un pequeño cambio de planes: Usando el teorema anterior demuestre que existe una serie como la que usted menciona pero s.t. $\;G_i\lhd G\;\;\forall\,i\;$ de lo que se deduce que $\;K\cap G_i\lhd G\;$ También.

Answer 2

Sea $K$ sea un subgrupo normal no trivial de $G$ . Si $K$ tiene orden $p$ podemos elegir $N = 1$ así que supongamos que $K$ tiene orden $\geq p^2$ .

Ahora $K \cap Z(G)$ no es trivial, por lo que contiene un subgrupo $P$ de orden $p$ . Entonces $P$ es normal en $G$ . Si $K$ tiene orden $p^2$ podemos elegir $N = P$ de lo contrario, repita este argumento para $G/P$ y $K/P$ .