Pregunta sobre la regla de la cadena en cálculo

Question

¿Cómo puedo calcular lo siguiente?

$f(x)=(x^2-9)^2$

determinar los valores para los que $f'(x)<0$

Sé que la derivada está utilizando la regla de la cadena es $2(x^2-9)(2x)$ pero cómo podría averiguar el resto.

Answer 1

Amplíe su derivada a $4x(x-3)(x+3) \lt 0$ . Cambiará de signo en $-3, 0 , +3.$ Dado que la desigualdad es cierta cuando $x$ es muy grande y negativa, la solución es $x \in (-\infty,-3) \cup (0,3)$

Answer 2

Esto es algo que se suele hacer en pre-cálculo, analizando dónde un polinomio es negativo/positivo dadas sus raíces.

$4x(x^2-9) < 0 \iff x(x-3)(x+3) < 0.$ Luego analiza $x$ entre los ceros.

Answer 3

$f(x)=(x^2-9)^2$ $$f'(x)=2(x^2-9)2x=4x(x-3)(x+3)<0\Rightarrow x\in(-\infty,-3)\cup (0,3)$$

Answer 4

Resolver la desigualdad $f'(x)<0$ . Es decir, $$f'(x)=4x(x^2-9)=4x^3-36x<0\implies 4x^3<36x\implies x^3<9x$$ Para $x>0$ la desigualdad final se convierte en $$x^2<9\implies x\in(-3,3)$$ para que $x\in(0,3)$ . Para $x<0$ la misma desigualdad se convierte en $$x^2>9\implies x\in (-\infty, -3)\cup (3, \infty)$$ para que $x\in(-\infty, -3)$ . Para $x=0$ es evidente que no se cumple la desigualdad.

Así que la solución final es $$x\in(-\infty, -3)\cup(0,3).$$