Parameterización global de $SO(3, \mathbb R)$ con $3$ números reales (demostrando que $SO(3)$ está cerrado).

Question

Estoy trabajando en mi tesis sobre la Fibración de Hopf. Para discutir la variante $S^3\rightarrow S^2$, estoy utilizando Cuaterniones sobre matrices. Durante la última revisión, mi asesor me dijo que probablemente debería justificar por qué.

En particular, él dijo que

nos gustaría parametrizar la 3-variedad $SO(3)$ con 3 reales, pero esto no es posible globalmente.

Por un lado, $SO(3)$ es de hecho tridimensional, ya que (en representación de matrices)

1. la primera columna $p$ debe tener longitud unitaria, es decir, de $S^2$
2. la segunda columna debe ser ortogonal a $p$, y tener longitud unitaria, es decir, de $S^1$
3. la última columna ya está determinada completamente, ya que el determinante debe ser $1$.

Sin embargo, al analizar este argumento, no podemos encontrar una parametrización global para las dos primeras columnas, ya que $S^2$ y $S^1$ son cerrados, pero $\mathbb R^2$ y $\mathbb R^1$ son abiertos.

¿Existe tal vez un argumento más conciso sobre por qué $SO(3)$ es cerrado, que demostraría que la parametrización global con tres reales es imposible?

Answer 1

$SO(3)$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb R^9 = (\mathbb R^3)^3$ porque su ecuación definitoria $M M^{T} = I$ es una función continua $\mathbb R^{9} \mapsto \mathbb R^9$ cuya imagen es un subconjunto cerrado, específicamente el subconjunto de un solo punto $\{I\} \subset \mathbb R^9$.