Demostrar que existe $c \in (a,b)$ para lo cual $g(c) = 0$

Question

Supongamos que $f$ y $g$ son funciones diferenciables sobre un intervalo abierto $I$ satisfaciendo $f'g = fg'$ . Supongamos que $a<b$ son raíces adyacentes de $f(x) = 0$ para algunos $a,b \in I$ y $g(a)g(b) \neq 0$ . Demostrar que existe $c \in (a,b)$ para lo cual $g(c) = 0$ .

Inténtelo

Tenemos que $f(x) = (x-a)(x-b)Q(x)$ y también que $$[(x-a)(x-b)Q'(x)+Q(x)((2x-(a+b))]g(x) = (x-a)(x-b)Q(x)g'(x).$$ No estoy seguro de si esto ayuda o no, pero creo que el teorema de Rolle podría ayudar definitivamente para esta pregunta.

Answer 1

$a,b$ son raíces adyacentes, implica $f\neq 0$ en $(a,b)$ supongamos que $g\neq 0$ en $(a,b)$ el $(a,b)$ tenemos $f'/f=g'/g$ así $log\mid f\mid =log\mid g\mid +c$ esto implica que $f=Cg$ donde $C$ es una constante distinta de cero en $(a,b)$ esto implica que $f=Cg$ en $[a,b]$ Así pues $g(a)=g(b)=0$ . Contradicción.

Answer 2

Supongamos que $g(c) \neq 0$ para todos $c \in (a, b)$ . Dado que $g(a)g(b) \neq 0$ se deduce que $g(x) \neq 0$ para todos $x \in [a, b]$ . Y, por tanto, la función $F(x) = f(x)/g(x)$ se define para todo $x \in [a, b]$ . Claramente tenemos $$F'(x) = \frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^{2}} = 0$$ y por lo tanto $F(x) = k$ para todos $x \in [a, b]$ donde $k$ es una constante. Por lo tanto $f(x) = kg(x)$ y claramente $k \neq 0$ de lo contrario $f$ será idénticamente $0$ (nótese que el problema dice que $a, b$ son raíces adyacentes de $f(x) = 0$ y por lo tanto significa que $f(x) \neq 0$ para todos $x \in (a, b)$ ).

De ello se deduce que $g(x) = f(x)/k$ y claramente $g(a)g(b) = f(a)f(b)/k^{2} = 0$ lo cual es una contradicción. De ahí nuestra suposición de que $g(c) \neq 0$ para todos $c \in (a, b)$ está mal. Y por lo tanto hay al menos una $c \in (a, b)$ para lo cual $g(c) = 0$ .