Sea $\phi$ un homomorfismo de $G$ à $H$ . Sea $K \leq G$ contienen el núcleo de $\phi$ . Demuestre que $\phi ^{-1}\left( \phi\left( K \right) \right) = K.$

Question

Sea $\phi$ un homomorfismo de $G$ à $H$ . Sea $K \leq G$ contienen el núcleo de $\phi$ . Demuestre que $\phi ^{-1}\left( \phi\left( K \right) \right) = K.$

Me han pedido que demuestre esta afirmación. Parece bastante sencilla de demostrar, pero por alguna razón me he atascado al intentar demostrarla. He intentado demostrar que los conjuntos a cada lado de la igualdad son subconjuntos entre sí. Tengo que el conjunto en el lado izquierdo de la igualdad es esencialmente $$\left\{ g \in G: \phi\left( g \right)=\phi \left( k \right) \text{ for some }k\in K \right\}$$ También veo que como el núcleo de $\phi$ está en $K$ entonces tenemos que $$\phi\left( g \right)=e \implies g\in K$$ Estoy utilizando el enfoque de tratar de demostrar que si $\phi\left( g \right)=\phi \left( k \right) \text{ for some }k\in K$ entonces $g \in K$ . Obviamente, la otra contención $\left(( K \subseteq \phi ^{-1}\left( \phi\left( K \right) \right) \right)$ es bastante trivial, pero no puedo ver es cómo demostrar la contención más difícil. Sé que esto es probablemente muy fácil, pero por alguna razón no puedo resolverlo. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Pista: $\phi$ es un homomorfismo, por lo que si $\phi(g)=\phi(k)$ entonces $\phi(gk^{-1})=?$