¿Por qué el producto interior entre la corriente sin divergencia $\vec{J}$ y un campo de gradiente $\nabla \varphi$ ¿Cero?

Question

Leo un artículo diciendo que el producto interior entre la corriente sin divergencia y un campo de gradiente es cero.

Una corriente superficial sin divergencia es $\nabla\cdot\vec{J}=0$ y $\vec{J}$ podría representarse como $\vec{J}=\nabla\times(\psi\hat{n})$ donde $\hat{n}$ es el vector normal de la superficie. Así que la afirmación se convierte en: $\left( \nabla\times(\psi\hat{n}) \right) \cdot \nabla \varphi=0$ .

Creo que según la identidad: $$\nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B})$$ tenemos $$\nabla\times(\psi\hat{n})\cdot \nabla \varphi=\nabla\cdot(\psi\hat{n}\times\nabla\varphi)+\psi\hat{n}\cdot\nabla\times\nabla\varphi=\nabla\cdot(\psi\hat{n}\times\nabla\varphi),$$ pero ¿y ahora qué?

Actualización Gracias, Luboš Motl. Supongo que ahora entiendo por qué, pero no tengo suficiente reputación para responder a continuación, por lo que sólo actualizar aquí mi respuesta.

El objetivo es demostrar $\int_s \vec{J}\cdot\nabla\varphi ds=0$ El proceso completo es el siguiente:

Primero, $\vec{J}$ no puede atravesar el borde de la superficie, por lo que $\vec{J}\cdot\hat{t}=0$ , donde $\hat{l}$ es la dirección del borde de la superficie y $\hat{t}=\hat{l}\times\hat{n}$ es la dirección de salida del borde.

En segundo lugar, según la identidad $$\nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B}) \, ,$$ tenemos $$\begin{align} \vec{J}\cdot\nabla\varphi &=\nabla\times(\psi\hat{n})\cdot \nabla \varphi \\ &=\nabla\cdot(\psi\hat{n}\times\nabla\varphi)+\psi\hat{n}\cdot\nabla\times\nabla\varphi \\ &=\nabla\cdot(\psi\hat{n}\times\nabla\varphi) \end{align}$$ desde $$\nabla\times(f\vec{A})=\nabla{f}\times\vec{A}+f(\nabla\times A)$$ $$\psi\hat{n}\times\nabla\varphi= -\nabla \times (\varphi\psi\hat{n}) + \varphi \nabla \times(\psi\hat{n}) \, .$$ Entonces $$\begin{align} \nabla\cdot(\psi\hat{n}\times\nabla\varphi) &=\nabla\cdot(-\nabla\times(\varphi\psi\hat{n})+\varphi\nabla\times(\psi\hat{n})) \\ &=\nabla\cdot(\varphi\nabla\times(\psi\hat{n})) \end{align}$$ Por fin, $$\begin{align} \int_s \vec{J}\cdot\nabla\varphi ds &=\int_s\nabla\times(\psi\hat{n})\cdot \nabla \varphi ds \\ &= \int_s \nabla\cdot(\varphi\nabla\times(\psi\hat{n}))ds \\ &=\oint_l \varphi\nabla\times(\psi\hat{n})\cdot\hat{t}dl \\ &=\oint_l \varphi\vec{J}\cdot\hat{t}dl \\ &=0 \, . \end{align}$$

Creo que aquí lo importante es

1. En general, la corriente sin divergencia puede expresarse como $\vec{J}=\nabla\times\vec{T}$ y $\vec{J}=\nabla\times(\psi\hat{n})$ es especial para la corriente superficial.

2. el $\hat{n}$ sólo es válido en la superficie(no hay significado de $\hat{n}$ para punto en el lado de un cuerpo). la integral está en la superficie y no en el cuerpo. Según el artículo original, sólo se habla de PEC y de corriente superficial.

Answer 1

Una corriente sin divergencia sigue siendo un campo vectorial bastante general, por lo que su producto interior con otro campo general, un gradiente, seguramente no es cero en general.

Un contraejemplo trivial. $\psi n = (y/2,-x/2,0)$ . Entonces $\nabla\times (\psi n) = (0,0,1)$ . Por otra parte, el campo de gradiente puede ser $(0,0,1)=\nabla\cdot (0,0,z)$ y el producto interior de las dos unidades $z$ -vectores de dirección no es cero en cualquier lugar.

Lo que la declaración con la que te encontraste podría haber dicho era $$\nabla \times (\nabla\cdot \phi) = 0$$ que es una de las identidades básicas que se pueden demostrar fácilmente.

Actualización

El OP nos ha proporcionado la fuente y está claro que hicieron una declaración diferente y verdadera. El producto interior no era el simple producto de dos vectores de 3, sino el producto interior en el sentido del espacio de Hilbert. $$b(\vec u,\vec v) = \int d^3 x \, \vec u(x)^* \cdot \vec v(x)$$ integrado sobre el espacio. Esto desaparece si $\vec u$ es múltiplo de un rizo y $\vec v$ es un múltiplo de un gradiente. Esto se ve trivialmente en el espacio de momento donde es $$b(\vec u_k, \vec v_k) = \int d^3 k \, A(\vec k \times \vec B) \cdot (C\vec k \cdot D)$$ Toma, $k\times$ surge del rizo y $\vec k\cdot$ surge del gradiente y la integral anterior desaparece (el integrando desaparece para cada $\vec k$ en esta representación) porque $\vec k \cdot (\vec k \times \vec M) \equiv 0$ . La prueba análoga en el $x$ -la representación requiere cierta integración por partes.

Answer 2

Creo que escribir $\nabla\times(\psi\hat{n})$ como $\nabla\psi\times\hat{n}$ es expresar la antisimetría entre $\varphi$ y $\psi$ y preparar el $\nabla\psi$ para $\vec{J}$ en la expresión final , haría un poco más clara la obtención de la respuesta, $\vec{J}\cdot\nabla\varphi=\underline{\nabla\times(\psi\hat{n})\cdot \nabla \varphi}=(\nabla\psi\times\hat{n})\cdot\nabla\phi=\nabla\psi\cdot(\hat{n}\times\nabla\varphi)=\underline{-\nabla\psi\cdot\nabla\times(\varphi\hat{n})}$

y, a continuación, utilice $\nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B})$ para incluir la expresión en el operador de divergencia de superficie $\nabla\cdot()$ Así que

- $\int_s\nabla\psi\cdot\nabla\times(\varphi\hat{n})ds=\int_s \nabla\cdot(\nabla\psi\times\varphi\hat{n})ds-\int_s\varphi\hat{n}\cdot\nabla\times\nabla\psi ds=\oint_l (\nabla\psi\times\varphi\hat{n})\cdot\hat{t}dl=\oint_l \varphi\vec{J}\cdot\hat{t}dl=0$

Answer 3

OK, otro camino es presentar $\nabla\times(\psi\hat{n})\cdot\nabla\varphi=\nabla\psi\times\hat{n}\cdot\varphi=\hat{n}\cdot(\nabla\varphi\times\nabla\psi)=\hat{n}\cdot(\nabla\times(\varphi\nabla\psi)-\varphi\nabla\times\nabla\psi)=\hat{n}\cdot\nabla\times(\varphi\nabla\psi)$ donde la identidad $\nabla\times(f\vec{A})=\nabla f\times\vec{A}+f\nabla\times\vec{A}$ se utiliza. entonces con el teorema de Stokes $\int_s \nabla\times(\varphi\nabla\psi)\cdot\hat{n}ds=\oint_l \varphi\nabla\psi\cdot d\vec{l}=\oint_l \varphi\nabla\psi\cdot(\hat{n}\times\hat{t})dl=\oint_l \varphi\nabla\psi\times\hat{n}\cdot\hat{t}dl=\oint_l \varphi\vec{J}\cdot\hat{t}dl=0$