Cohomología con soporte y dualidad de Poincare

Question

Digamos que tenemos una hipersuperficie $D \subset \mathbb{P}^2$ . Me encontré con la siguiente secuencia de isomorfismos, justificada únicamente con "por dualidad de Poincare formulada algebro-geométricamente": $$H^2(\mathbb{P}^2-D,\mathbb{Q}) \cong H^3_D(\mathbb{P}^2,\mathbb{Q}) \cong H_1(D,\mathbb{Q})$$ Busqué cohomología con soportes, y sólo pude encontrar algo como $H^k_c(X) \cong H^{n-k}(X)^*$ . ¿Podría ayudarme con una referencia o una explicación de por qué se sostiene lo anterior? Muchas gracias.

Answer 1

Hay dos isomorfismos en tu pregunta, el segundo es de hecho una forma de dualidad de Poincaré / isomorfismo de pureza. El primero es, por el contrario, específico de la situación. Voy a explicar los dos.

---

Hablemos primero de la dualidad de Poincaré. Todos los grupos de homología/cohomología serán con coeficientes racionales, así que no los escribiré.

Si $Z\subset X$ es un subconjunto cerrado y $U$ es su complemento, entonces existen secuencias exactas largas de localización en cohomología con soporte compacto, con homología de Borel-Moore y cohomología : $$...\to H^i_c(U)\to H^i_c(X)\to H^i_c(Z)\to H^{i+1}_c(U)\to...$$ $$...\to H^{BM}_{d-i}(Z) \to H^{BM}_{d-i}(X) \to H^{BM}_{d-i}(U)\to H^{BM}_{d-i-1}(Z)\to...$$ $$...\to H^i_Z(X)\to H^i(X)\to H^i(U)\to H^{i+1}_Z(X)\to...$$

Una versión de la dualidad de Poincaré dice que para una variedad orientada de dimensión (topológica) $d$ entonces $H^i=H^{BM}_{d-i}=(H_c^{d-i})^*$ . En caso de que $X,U,Z$ son suaves, entonces la segunda sucesión exacta es la dual de la primera.

Pero también tenemos una identificación entre la segunda y la tercera : existe una dualidad relativa de Poincaré $H^i_Z(X)=H^{BM}_{d-i}(Z)$ . Junto con esta dualidad relativa, la segunda y la tercera secuencia exacta son la misma.

Esta dualidad relativa de Poincaré da en su caso concreto, se obtiene $H_1(D)=H^3_D(\mathbb{P}^2)$ .

---

He aquí, pues, una variante "derivada" del isomorfismo anterior, y lo que suele llamarse isomorfismo de pureza.

Sea $i:Z\rightarrow X$ y $j:U\rightarrow X$ sean la inmersión cerrada y abierta. Sea $f:X\to pt$ sea el morfismo canónico. Entonces, en la categoría derivada de grupos abelianos, existen isomorfismos : $$H^i(X)=Hom_D(\mathbb{Q},Rf_*f^*\mathbb{Q}[i])$$ $$H^{BM}_{d-i}(X)=Hom_D(\mathbb{Q},Rf_*Rf^!\mathbb{Q}[i-d])$$ $$H^i_c(X)=Hom_D(\mathbb{Q},Rf_!f^*\mathbb{Q}[i])$$

Y la larga secuencia exacta anterior proviene de los triángulos distinguidos $$i_*Ri^!\to 1\to Rj_*j^*\overset{+1}\to$$ $$j_!j^*\to 1\to i_*i^*\overset{+1}\to$$ Ahora la versión de la dualidad Poincaré-Verdier establece que para una variedad orientada de dimensión $d$ tenemos un isomorfismo del functor $Rf^!=f^*[d]$ . Esto da en particular el isomorfismo $H^i=H^{BM}_{d-i}$ .

Si $X$ y $Z$ son suaves y $Z$ de codimensión $c$ entonces $$i^!\mathbb{Q}_X[d]=i^!f^!\mathbb{Q}=(fi)^!\mathbb{Q}=\mathbb{Q}_Z[d-c]$$ Por lo tanto $i^!\mathbb{Q}=\mathbb{Q}[-c]$ . Este isomorfismo de retención se denomina isomorfismo de pureza en geometría algebraica.

---

Veamos ahora el primer isomorfismo $H^2(\mathbb{P}^2-D)\simeq H^3_D(\mathbb{P}^2)$ . Aplicaremos las secuencias exactas largas con $X=\mathbb{P}^2$ y $Z=D$ una hipersuperficie lisa. Puesto que son adecuadas, $H^i=H^i_c$ y $H^{BM}_i=H_i$ . La secuencia de localización en (digamos la homología de Borel Moore) es entonces :

$$...\to H_2(D)\to H_2(\mathbb{P}^2)\to H_2^{BM}(\mathbb{P}-D)\to H_1(D)\to H_1(\mathbb{P}^2)\to...$$ Pero ahora, por dualidad de Poincaré (con $d=4$ ) esto es : $$...\to H^2_D(\mathbb{P}^2)\to H^2(\mathbb{P}^2)\to H^2(\mathbb{P}-D)\to H^3_D(\mathbb{P}^2)\to H^3(\mathbb{P}^2)\to...$$

Ahora, ya que estamos trabajando con coeficiente racional, $[D]\in H_2(D)$ se envía a un generador de $H_2(\mathbb{P}^2)$ así que el mapa $H_2(D)\to H_2(\mathbb{P}^2)$ es onto, y como $H_1(\mathbb{P}^2)=0$ tenemos el isomorfismo $H^2(\mathbb{P}^2-D)\simeq H_1(D)\simeq H^*_D(\mathbb{P}^2)$

---