Mostrar que $e^x \geq (3/2) x^2$ para todos no negativos $x$

Question

Estoy tratando de resolver las dos partes del problema, se plantea en el Buck Cálculo Avanzado en la página 153. Se pregunta "Muestran que $e^x \geq \frac{3}{2}x^2$ $\forall x\geq 0$. Puede $3/2$ ser sustituido por una constante mayor?"

Esto es después de que la sección relativa a los polinomios de Taylor, por lo que he estado tratando de aprovechar la expansión de Taylor para $e^x$ a $0$. $e^x \geq 1+x+\frac{x^2}{2}$, y por la fórmula cuadrática, tenemos $1+x+\frac{x^2}{2}\geq \frac{3}{2}x^2$$x\in [0, \frac{1+\sqrt{5}}{2}]$.

Ahora también se $e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$. Sabemos que existe una $c\in \mathbb{R}^{\geq 0}$ tal que para todos los $x\geq c$,$1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\geq \frac{3}{2}x^2$. Quiero encontrar a este punto sin jugar con el cúbicos fórmula, etc. Creo que me estoy perdiendo una manera más sencilla. Alguna idea?

Answer 1

Uso de AM-GM (i. e. $a+b \ge 2\sqrt{ab})$:

$$ x+x^3/6 \ge 2\sqrt{x^4/6}=x^2\sqrt{2/3}$$

$$1+x^4/24 \ge 2\sqrt{x^4/24}=x^2\sqrt{1/6}$$

Así para todas las $x \ge 0$:

$$e^x \ge 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24\ge x^2(1/2+ \sqrt{2/3}+\sqrt{1/6}) \ge 3/2 x^2$$

Answer 2

Partir de $e^x \geq 1 + x$ % todos $x \in \mathbb{R}$. Entonces $$e^x = e \cdot e^{x-1} \geq e \cdot x$$ for all $x # \in \mathbb{R}$ and $$e^x = (e^{\tfrac{x}{2}})^2 \geq \left(\frac{e \cdot x}{2} \right)^2$$ for all $x \geq 0$.

Answer 3

Considere la posibilidad de una ecuación cuadrática $y=a x^2$ que es tangente a $y=e^x$. Es decir, hemos partido de la función y la derivada en un punto de $x=x_0$. Entonces

$$e^{x_0}=a x_0^2$$ $$e^{x_0}=2 a x_0$$

A continuación,$a x_0^2=2 a x_0$, de modo que $x_0=2$. Conectando de nuevo en una de las ecuaciones anteriores, obtenemos que

$$a=\frac{e^2}{4} \approx 1.84726$$

Considerar, como @julien indica, la función de $g(x)=a x^2 e^{-x}$, lo que ha derivado $a (2-x) x e^{-x}$, y la segunda derivada $a (x^2-4 x+2) e^{-x}$. Esta función representa la proporción de la cuadrática a la exponencial y es una máxima en $x=2$ todos los $a>0$. Como $a x^2$ aumenta monótonamente en $a$, tenemos

$$e^x \ge \frac{e^2}{4} x^2 \gt \frac{3}{2} x^2$$

Answer 4

Que $f(x)=e^x/x^2$ y reducir al mínimo en $(0, \infty)$, que significa en primer lugar calculamos $$f'(x)=\frac{(x-2)e^x}{x^3},$ $ para que el minuto ocurre en $x=2$ y $e^2/4$ acuerdo con la respuesta de Ron, pero no involucra hacer una tangente de la curva a $y=e^x$. (Nota que solo puse esta respuesta a su apelación directa "calc 1").