Género Seifert del levantamiento de un nudo en sus cubiertas cíclicas ramificadas

Question

Me preguntaba si hay algún ejemplo conocido de nudos $K$ en $S^3$ con género Seifert $g$ de modo que la elevación de $K$ sentado dentro de su $n$ -La cubierta ramificada cíclica doble limita con una superficie incrustada de género menor que $g$ ?

Si $g_n(K)$ es el género más pequeño posible de una superficie incrustada que limita la elevación de $K$ en su $n$ -cubierta cíclica ramificada, ¿qué ocurre con $g_n(K)$ si permitimos $n$ para crecer? (Supongamos que $K$ no está fibrado).

Answer 1

Una no trivial (y mucho más general) resultado de Gabai implica que $g_n(K)=g_1(K)$ para todos $n$ . Esto se resume en la frase "La norma de Gromov es igual a la norma de Thurston". A grandes rasgos, la norma de Gromov representa el género mínimo de una superficie Seifert inmersa, mientras que la norma de Thurston representa el género mínimo de una superficie Seifert embebida. De ello se deduce que la superficie Seifert embebida de género mínimo realiza el género mínimo sobre todas las superficies Seifert inmersas.

La prueba de Gabai es interesante y esclarecedora. Construye una foliación tensa del complemento del nudo con una superficie Seifert de género mínimo como hoja, haciendo uso de la teoría de las variedades tensas suturadas que desarrolla en los artículos. La clase euler de esta foliación da una cota inferior del género de las superficies Seifert inmersas, y realizada por la superficie Seifert inmersa.