Integrar cuando la potencia es -1

Question

Estoy estudiando la aceleración en función de la velocidad y el desplazamiento como parte de mi módulo de mecánica, pero no estoy seguro de cómo integrar esta expresión de aceleración.

Si se diera una situación en la que $a = \frac{1}{s + 2}$ y querías encontrar $s$ cuando $v$ es igual a un determinado valor, habría que integrar la ecuación anterior como $\int v dv = \int \frac{1}{s + 2} ds$ o, al menos, hasta donde yo sé. Pero si traes $s + 2$ a la forma de índice negativo se obtiene $s^{-1} + 2^{-1}$ y si integraras esa expresión obtendrías potencias de $0$ y no funcionaba. Obviamente lo estoy haciendo mal, pero ese es mi proceso de pensamiento.

Answer 1

$$\int x^{-1}=\log(x)+C$$ Recuerde también que $$\frac{1}{s+2} \not= s^{-1}+2^{-1}$$

Avísame si eso no responde a tu pregunta.

Answer 2

Creo que deberías intentar comprender mejor lo que está pasando aquí.

En primer lugar, lo que has escrito: $\displaystyle \int vdv = \int \frac{1}{s+2}ds$ es, de hecho, correcto (algunos otros parecen confundidos por esto).

Para ver por qué, considere $\displaystyle I = \int a ds$ . Ponga $\displaystyle a = \frac{dv}{dt}$ para dar $\displaystyle I = \int \frac{dv}{dt} ds$ . Reorganizar para dar: $\displaystyle I = \int \frac{ds}{dt} dv$ . Por último, utilice $\displaystyle v = \frac{ds}{dt}$ para obtener $\displaystyle I = \int vdv$ . Por lo tanto $\displaystyle \int a ds = \int v dv$ y esto se puede utilizar, por ejemplo, en la derivación de la fórmula de la energía cinética.

A continuación, parece que tiene alguna confusión sobre cómo calcular $\displaystyle \int \frac{1}{s+2} ds$ . En primer lugar, tenga en cuenta que, en general, $\displaystyle \frac{1}{a + b} \neq a^{-1} + b^{-1}$ . Así que no se puede dividir el denominador de esa manera.

En su lugar, pruebe la sustitución $\displaystyle x = s+2$ . Esto da $\displaystyle ds = dx$ y la integral se convierte en $\displaystyle \int\frac{1}{x} dx = \ln x + c = \ln (s+2) + c$ ( $\displaystyle c$ es una constante arbitraria que se puede evitar empleando integrales definidas con los límites apropiados, un método a menudo preferido cuando se trata de problemas físicos).