Hay que admitir que esta puede ser una pregunta extremadamente ingenua, pero simplemente estoy perplejo acerca de la motivación detrás de la elección de esta función para ser uno de los caracteres de Dirichlet modulo $8$ en lugar del carácter Dirichlet módulo $2$ (o, de hecho, cualquier otro carácter modulo $8$ ). Debe haber una buena razón para esto, ¿verdad? ¿Cuál fue la motivación de Kronecker?
Para $m\in\mathbb{N}$ y $n\notin 2\mathbb{N}$ el símbolo de Kronecker $(m/n)$ es la extensión completamente multiplicativa a los números Impares del símbolo de Legendre $(m/p)$ donde $p$ es un primo impar. Así es,
$$\left(\frac{m}{n}\right)=\prod_{p|n}\left(\frac{m}{p}\right)^{\alpha_p(n)},$$ donde $\alpha_p(n)$ es el exponente de $p$ en la factorización de $n$ y $\left(\frac{m}{p}\right)$ es $0$ si $p|m$ y $\{-1,1\}$ dependiendo de si $m$ es un no-residuo cuadrático o residuo (mod $p$ ), respectivamente.
Muy bien. Cuando $n\in 2\mathbb{N}$ sin embargo, el símbolo de Kronecker se define de la misma manera pero con $(m/2)$ definido como $0$ si $m$ es par, $1$ si $m\equiv \pm 1$ (mod 8) y $-1$ $m\equiv \pm 3$ (mod 8). En otras palabras, el símbolo de Kronecker el carácter Dirichlet módulo $8$ que toma los valores $1,0,-1,0,-1,0,1,0,...$ .
Por supuesto, hay cuatro caracteres (mod $8$ ) que son todas funciones reales y completamente multiplicativas de $m$ . Por ejemplo, el más sencillo es el carácter Dirichlet (mod $2$ ), que toma los valores $1,0,...$ . En particular, si hubiéramos tomado el símbolo de Kronecker como este carácter, seguiría siendo completamente multiplicativo en función de $n$ y cuando $n=2$ tendríamos una función de $m$ que lleva la estructura trivial de residuos (mod $2$ ), también. Entonces, ¿por qué lo tomamos como el carácter particular que lo hacemos, en cambio?
