Sea $f(x)$ y $g(x)$ funciones continuas en $x = 0$ tal que $f(0) = 0 = g(0)$ . Demostrar que el límite como $x$ se aproxima a cero de $f(x)^{g(x)} = 1$

Question

La prueba es muy sencilla para el caso $f(x) = x = g(x)$ desde $$ \lim_{x\to 0}{x^x} = 1 $$ ¿Pero en otros casos?

Nótese que no especifican que las funciones sean diferenciables y tampoco que sean continuas en todo su dominio. Podemos suponer que las funciones están definidas en un intervalo abierto que contiene a cero.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \log (f(x)^{g(x)}) = g(x)\log f(x) $$ Ahora bien, el resultado se mantiene en cuanto $ g(x)\log f(x) \to 0$ pero no siempre es así (si $g(x)$ va a $0$ suficientemente lento).

Por ejemplo: $$ f(x) = e^{-1/|x|}\implies g(x)\log f(x) = -\frac {g(x)}{|x|} $$ Ahora toma $g(x) = \sqrt{|x|}$ y esto es un contraejemplo.

Answer 2

Como contraejemplo, consideremos $f(x)=0$ y $g(x)=x^2$ que son continuas y diferenciables

Answer 3

Para demostrar que $$ \lim_{x\to 0}f(x)^{g(x)}=1 $$ Podemos demostrar $$ \lim_{x\to 0} {g(x)}\ln(f(x))=0\\\\ $$ Podemos utilizar la regla de L'Hopital para demostrarlo si primero reordenamos el límite. $$ \begin{align} &\lim_{x\to 0} g(x)\ln(f(x))\\\\ =&\lim_{x\to 0}\frac{\ln(f(x))}{1/g(x)}\\\\ =&\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{f(x)}f^\prime(x)}{-\frac{1}{g^2(x)}g^\prime(x)}\\\\ =&\lim_{x\to 0}\frac{g^2(x)}{f(x)}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}\\\\ =&\lim_{x\to 0}g(x)=0 \\\\ \end{align} $$

Podemos utilizar la regla de L'Hopital anterior ya que el límite $x\to 0$ de $\frac{f(x)}{g(x)}$ es de forma indeterminada $\frac00$ . Como hemos demostrado que el límite de $g(x)\ln(f(x))$ como $x\to 0$ es $0$ , podemos ver que: $$ \lim_{x\to 0}\ln f(x)^{g(x)}=0\implies\lim_{x\to 0}e^{\ln f(x)^{g(x)}}=1\implies\lim_{x\to 0}f(x)^{g(x)}=1 $$

Espero que esto le ayude a responder a su pregunta.