Encontrar dos subconjuntos cerrados o números reales tales que $d(A,B)=0$ $A\cap B=\varnothing$

Question

Aquí está mi problema:

Encontrar dos subconjuntos cerrados o números reales tales que $d(A,B)=0$ $A\cap B=\varnothing$.

Intenté utilizar la definición de ser estrecha para subconjuntos como intervalos pero no pude encontrar ningún sistemas cerrados. ¿Cualquier sugerencia? Gracias.

Answer 1

Tomar los dos siguientes sets:

$$A = \mathbb{N}$$ $$B = \{n + 2^{-n}:n\in\mathbb{N}\}$$

Entonces ambos son obviamente cerrado subconjuntos de los reales, y para cualquier $\varepsilon>0$ algunos $n\in\mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n}<\varepsilon$, y por lo tanto $d(A,B) = 0$.

Observe también que si usted toma uno de los dos conjuntos acotados (decir $A$), entonces sería compacto. En ese caso, si $d(A,B) = 0$ tendría dos secuencias de puntos de $S_A=\{a_n\}\subseteq A$ $S_B=\{b_n\}\subseteq B$ tal que $d(a_n,b_n)\rightarrow 0$. A continuación, $S_B$ debe estar delimitado por algunos $M$. $C = B\cap [-M,M]\supseteq S_B$ es compacto. Por compacidad podemos obtener dos convergente subsecuencias de $S_A$$S_B$. Sus límites están contenidas en $A$ $B$ respectivamente (ya que los conjuntos son cerrados) y que debe ser el mismo desde $d(a_n,b_n)\rightarrow 0$. Esto es una contradicción, y por lo tanto, uno de los conjuntos puede ser limitada.

Answer 2

Sugerencia: No puede hacer esto para conjuntos cerrados acotados. Piense en $\Bbb N$ y un conjunto de $\{a_n\mid n\in\Bbb N\}$ tal que $\lim\frac n{a_n}=1$.

Answer 3

En $\mathbb{R}^2$, un ejemplo visual es $A= \mathbb{R} \times \{0\}$ y $B= \{(x,e^x) \mid x \in \mathbb{R} \}$.

Answer 4

Considerar los dos conjuntos siguientes: $$A=\{2,3,4,5,...\},~~~B=\{2\frac{1}{2},3\frac{1}{3},4\frac{1}{4},...\}$ $

Answer 5

Considerar $A=\{\frac{1}{2k} : k\in \mathbb{N}\}$ y $B=\{\frac{1}{2k+1} : k\in \mathbb{N}\}$.

$\frac{1}{2k} - \frac{1}{2k+1} = \frac{1}{4k^2 +2k}$ Tiende claramente a $0$.