El menor valor de la suma de valores absolutos invertidos

Question

Quiero encontrar el mínimo de expresión $$\frac{1}{|x_1 - x_2||x_1 - x_3|} + \frac{1}{|x_2 - x_1||x_2 - x_3|} + \frac{1}{|x_3 - x_1||x_3 - x_2|}$$

donde $x_1, x_2, x_3 \in [-1, 1]$ .

Estoy luchando un poco con este problema. He intentado algunas desigualdades entre medias, pero no estoy seguro de cómo puedo decir exactamente cuál es el valor mínimo de la misma. ¿Podría por favor darme una pista de cómo se puede hacer?

Answer 1

Dado que la expresión $f(x_1,x_2,x_3)$ que nos ocupa es simétrico en las variables, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $x_1 < x_2 < x_3$ . Tenga en cuenta que en este caso, $$f(x_1,x_2,x_3) = \frac{2}{(x_3 - x_2)(x_2 - x_1)} \geqslant \frac{8}{(x_3 - x_1)^2} \geqslant 2,$$ donde hemos utilizado la desigualdad AM-GM y el hecho de que $|x_3 - x_1| \leqslant 2$ . Tenga en cuenta que $2$ es efectivamente el mínimo ya que $f(-1, 0, 1) = 2$ .

Answer 2

Es una pregunta muy interesante. Por lo tanto, estamos tratando de minimizar una expresión:

$$ \min{\dfrac{1}{|x_1-x_2||x_1-x_3|}+\dfrac{1}{|x_2-x_1||x_2-x_3|}+\dfrac{1}{|x_3-x_1||x_3-x_1|}} $$

Una forma de minimizar la expresión es minimizar cada uno de los términos individualmente, es decir:

$$ \min (x+y+z) = \min(x)+\min(y)+\min(z) $$

Hay dos diferencias en el denominador de $\dfrac{1}{|x_1-x_2||x_1-x_3|}$ . Maximizar el denominador minimiza la fracción:

$$ min \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{\max a} $$

Nota: El valor máximo de este denominador es 4 para los valores $x_1 = 1, x_2 = -1, x_3 = -1$ . Sin embargo, observamos que esto conduce a una engorrosa división por cero en los términos segundo y tercero. Observamos que $x_1\neq x_2 \neq x_3$ resuelve este problema.

Si elegimos los valores de $x_1,x_2,\text{ and }x_3$ simétricamente, podemos maximizar cada término:

$$ x_1 = -1,x_2 = 0,x_3 = 1 $$

O cualquier combinación de estos valores.

Esto nos lleva a nuestra respuesta:

$$ \begin{align} & \dfrac{1}{|x_1-x_2||x_1-x_3|} & + & \dfrac{1}{|x_2-x_1||x_2-x_3|} & + & \dfrac{1}{|x_3-x_1||x_3-x_1|} \\ = & \dfrac{1}{|-1|\times|-2|} & + &\dfrac{1}{|1|\times|-1|} & + & \dfrac{1}{|2|\times|1|}\\ = &\dfrac{1}{2} & + & \dfrac{1}{1} & + & \dfrac{1}{2} \end{align} = 2 $$