Prueba de variable aleatoria mediante definición

Question

Sea $X_1, X_2, X_3$ sean variables aleatorias exponenciales independientes con parámetro $\lambda$ . Sea

$$X_{(1)} = \min(X_1,X_2,X_3), \qquad X_{(3)} = \max(X_1,X_2,X_3)$$

y $X_{(2)}$ el valor intermedio.

Sea $t > 0 $ y $Z_t$ sea el número de índices $i$ tal que $X_i \le t$ . Demostrar que $Z_t$ es una v.r. Hallar la ley de $Z_t$ .

Estoy pensando en usar la definición para probar esto.. un r.v. es $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\forall t \in \mathbb{R}$ tenemos $\{\omega : X(\omega) \le t\} \in \mathcal{A}$ y se define en un espacio de probabilidad $\{\Omega, \mathcal{A}, P\}$ .

Intuitivamente es sencillo pensar que $Z_t$ depende de otra variable aleatoria y por tanto es una variable aleatoria, pero ¿cómo demostrarlo formalmente? También cuál es $\mathcal{A}$ en este caso?

Gracias

Answer 1

La variable aleatoria $Z_t$ sólo puede tomar los valores $0$ , $1$ , $2$ y $3$ por lo que basta con demostrar que $\{Z_t=i\}$ es medible para cada $i\in\{0,1,2,3\}$ . Para comprobarlo, observe que $Z_t=0$ sólo si $X_i>t$ para cada $i\in\{1,2,3\}$ de ahí $\{Z_t=0\}$ puede expresarse como una intersección de tres conjuntos medibles.

Si ya sabe que $X_{(i)}$ son variables aleatorias, entonces $\{Z_t=i\}=\{X_{(i)}\leqslant t\}\cap \{X_{(i+1)}>t\}$ , $i=1,2$ y $\{Z_t=3\}=\{X_{(3)}\leqslant t\}$ .

Si no conoce el dato anterior, escriba $\{Z_t=1\}$ como la unión de los conjuntos $\{X_1\leqslant t\}\cap \{X_2\gt t\}\cap \{X_3\gt t\}$ , $\{X_2\leqslant t\}\cap \{X_3\gt t\}\cap \{X_1\gt t\}$ y $\{X_3\leqslant t\}\cap \{X_1\gt t\}\cap \{X_1\gt t\}$ y utilizar una idea similar para $\{Z_t=2\}$ .