Existencia de un disco que contiene un número dado de puntos de un conjunto discreto

Question

Sea N un conjunto de n puntos arbitrarios en $\mathbb{R}^2$ y que $k \in \{1,...,n\}$ . ¿Es cierto que siempre existe un disco $D$ que contiene exactamente k puntos de N?

Lo pregunto porque aquí https://pdfs.semanticscholar.org/2dbf/96aabf099b06647ac2221ecb244c38fb50a8.pdf el autor toma un conjunto N como el anterior y dice: "Sea d el disco de radio más pequeño que contiene n/10 de los puntos de N". Al principio pensé que sólo quería el disco más pequeño con al menos n/10 puntos, pero luego se utiliza el límite de arriba. Lo que pido es probablemente más fuerte que lo que se necesita aquí.

Answer 1

Sí. Desde un punto genérico (en este caso, en el complemento del ${n \choose 2}$ bisectrices perpendiculares de cada par), las distancias a los miembros de $N$ son todos distintos, por lo que para cada $k$ los discos de radio adecuado centrados en dicho punto contendrán exactamente $k$ de ellos.