Homomorfismo de $Q_8$ a grupo cíclico de orden $2$

Question

Estoy tratando de encontrar un homomorfismo suryectivo del grupo cuaterniones $Q_8 = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$ al grupo cíclico de orden $2$ , $H = \{e,x\}$ .

No sé por dónde empezar. Ciertamente, necesito trazar $1$ à $e$ ya que un homomorfismo preserva la identidad, y sé que necesito mapear inversos a inversos. Como $H$ sólo tiene dos elementos, casi cualquier mapa que escriba que no envíe cada elemento de $Q_8$ a la identidad es suryectiva como mapa de conjuntos, pero eso no garantiza que el mapa respete la operación de grupo. Si los grupos tuvieran el mismo tamaño, podría escribir las tablas de multiplicación, esperando que los grupos fueran "iguales salvo por las etiquetas" (como en el caso de un isomorfismo) y eso informaría al mapa, pero como los grupos seguramente no son isomorfos, no conozco una forma de deducir nada a partir de la tabla de multiplicación.

Agradecería mucho algunas pistas y algo de ayuda sobre cómo empezar.

Answer 1

$Q_8$ tiene un subgrupo de orden cuatro, $\langle i\rangle$ . (En realidad tiene tres. ) También es normal, por el índice $2$ .

Por tanto, basta con tomar la proyección canónica: $$\pi:Q_8\to Q_8/\langle i\rangle\cong\Bbb Z_2$$ .