Utiliza la prueba de Grönwall para demostrar la acotación de la solución de la EDO.

Question

Tenemos una función $F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ continua, positiva y creciente. Sea $u:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ diferenciable y $$|u'(t)|\leq F(|u(t)|), \hspace{1.0cm} t\in(a,b)$$ Si $$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{F(s)}ds=+\infty$$ Demostrar que $u$ está limitada en $(a,b)$ .

Mi idea es inspirarme en esta prueba de la desigualdad de Grönwall:

Lema de Grönwall

Sea $\omega\in C^1(a,b)$ si $\exists \epsilon>0, Q>0:\forall t\in (a,b)$ i $$|\omega'(t)| \leq \epsilon+Q(|\omega(t)|$$ s $$|\omega(t)|\leq \left(\frac{\epsilon}{Q}+|\omega(t_0)|\right)e^{Q|t-t_0|}$$

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Prueba

Sea $z(t)=\sqrt{\omega^2(t)+\sigma^2}\geq \omega(t)$ $$|z'(t)|=|\frac{2\omega(t)\omega'(t)}{2\sqrt{\omega^2(t)+\sigma^2}}|\leq |\omega'(t)|\leq \epsilon+Q|\omega(t)|\leq \epsilon +Qz(t)$$ $$z'(t)\leq \epsilon +Qz(t)$$ $$\frac{z'(t)}{\epsilon+Qz(t)}\leq 1$$ Observe que $\frac{d}{dt}ln(\epsilon+Qz(t))=\frac{Qz'(t)}{\epsilon+Qz(t)}$ $$\implies \frac{z'(t)}{\epsilon+Qz(t)}=\frac{1}{Q}\frac{d}{dt}ln(\epsilon+Qz(t))\leq 1 \implies \frac{d}{dt}ln(\epsilon+Qz(t))\leq Q $$ Integración de $t_0$ a $t$ : $$\int_{t_0}^{t}\frac{d}{dt}ln(\epsilon+Qz(t))dt=\int_{t_0}^{t}Q$$ $$ln\left(\frac{\epsilon+Qz(t)}{\epsilon+Qz(t_0)}\right)\leq Q(t-t_0)$$ $$z(t)\leq \left(\frac{\epsilon}{Q}+z(t_0)\right)e^{Q(t-t_0)}$$ Y porque $z(t)\geq \omega(t)$ , $$|\omega(t)|\leq \left(\frac{\epsilon}{Q}+|\omega(t_0)|\right)e^{Q(t-t_0)}$$

Pero no sé cómo utilizar la integral impropia que me han dado en esta verificación.

Answer 1

Establecer $G(x)=\int_1^x\frac1{F(s)}ds$ . Si $|u(t)|>1$ para $t\in(t_0,t_1)$ entonces dentro de este intervalo $$ \frac{d}{dt} G(|u(t)|)=G'(|u(t)|)\frac{u(t)\cdot u'(t)}{|u(t)|}=\frac{u(t)\cdot u'(t)}{|u(t)|\,F(|u(t)|)} $$ que es menor que uno en valor absoluto, $G(|u(t)|)\le G(|u(t_0)|)+|t-t_0|$ . Esto significa ahora que esta expresión no puede alcanzar el infinito en un tiempo finito, lo que se traduce mediante la inversa de $G$ a $|u(t)|$ . Por tanto, la solución está acotada en todos los intervalos finitos.

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O quizás más sencillo de seguir, dejemos $v(t)$ sea la solución de $v'(t)=F(v(t))$ con $v(0)=1+|u(0)|$ . Entonces, en cualquier punto $t>0$ tienes $$ |u(t)|-v(t)\le |u(0)|-v(0)+\int_0^t[|u'(s)|-v'(s)]ds\le -1+\int_0^t[F(|u(s)|)-F(v(s))] $$ Suponiendo que exista un punto con $|u(t)|=v(t)$ conduce a una contradicción, ya que la desigualdad anterior da $|u(t)|+1\le v(t)$ para el menor $t$ . Ahora bien, la acotación de $v$ se deduce del método de separación de variables y de la propiedad dada de $F$ .

Un argumento similar es válido para la otra dirección al comparar $|u(-t)|$ et $v(t)$ para $t>0$ .