Para operadores limitados $A,B$ en un espacio de Hilbert $\mathbb{H}$ demostrar que para cualquier $c \geq 0$ , $A^*A \leq cB^*B \Leftrightarrow \lVert A \rVert \leq \sqrt{c}\lVert B \rVert$ .
Este es un ejercicio del libro de Wolfgang Sherer, Mathematics of Quantum Computing. Aquí $A^*$ denota el operador adjunto de $A$ , $\lVert A \rVert$ denota la norma del operador y para los operadores $A, B$ la declaración $A \leq B$ se define como $B-A \geq 0$ (es decir, para todos $|\psi\rangle \in \mathbb{H}$ , $\langle \psi | (B-A)\psi\rangle \geq 0$ ).
Mi trabajo hasta ahora: Utilizar las definiciones $A^*A \leq cB^*B$ es equivalente a $\langle \psi | (cB^*B-A^*A)\psi\rangle \geq 0$ para todos $|\psi\rangle \in \mathbb{H}$ . Expandiendo el producto interior, esto equivale a $\lVert A\psi\rVert \leq \sqrt{c}\lVert B\psi\rVert$ . Ahora tomando supremums sobre todos $|\psi\rangle$ con $\lVert \psi \rVert = 1$ obtenemos el $\Rightarrow$ dirección.
Mi pregunta: ¿Cómo puedo proceder con el $\Leftarrow$ dirección? En las soluciones de la contraportada del libro se indica que $\lVert A\psi\rVert \leq \sqrt{c}\lVert B\psi\rVert \Leftrightarrow \lVert A \rVert \leq \sqrt{c}\lVert B \rVert$ ecuación de citación $(2.57)$ que se encuentra más adelante en el libro y no es más que la definición de traza de un operador. Sin embargo, no creo que esto sea correcto.
