Para operadores limitados $A,B$ en un espacio de Hilbert demostrar que $A^*A \leq cB^*B \Leftrightarrow \lVert A \rVert \leq \sqrt{c}\lVert B \rVert$ .

Question

Para operadores limitados $A,B$ en un espacio de Hilbert $\mathbb{H}$ demostrar que para cualquier $c \geq 0$ , $A^*A \leq cB^*B \Leftrightarrow \lVert A \rVert \leq \sqrt{c}\lVert B \rVert$ .

Este es un ejercicio del libro de Wolfgang Sherer, Mathematics of Quantum Computing. Aquí $A^*$ denota el operador adjunto de $A$ , $\lVert A \rVert$ denota la norma del operador y para los operadores $A, B$ la declaración $A \leq B$ se define como $B-A \geq 0$ (es decir, para todos $|\psi\rangle \in \mathbb{H}$ , $\langle \psi | (B-A)\psi\rangle \geq 0$ ).

Mi trabajo hasta ahora: Utilizar las definiciones $A^*A \leq cB^*B$ es equivalente a $\langle \psi | (cB^*B-A^*A)\psi\rangle \geq 0$ para todos $|\psi\rangle \in \mathbb{H}$ . Expandiendo el producto interior, esto equivale a $\lVert A\psi\rVert \leq \sqrt{c}\lVert B\psi\rVert$ . Ahora tomando supremums sobre todos $|\psi\rangle$ con $\lVert \psi \rVert = 1$ obtenemos el $\Rightarrow$ dirección.

Mi pregunta: ¿Cómo puedo proceder con el $\Leftarrow$ dirección? En las soluciones de la contraportada del libro se indica que $\lVert A\psi\rVert \leq \sqrt{c}\lVert B\psi\rVert \Leftrightarrow \lVert A \rVert \leq \sqrt{c}\lVert B \rVert$ ecuación de citación $(2.57)$ que se encuentra más adelante en el libro y no es más que la definición de traza de un operador. Sin embargo, no creo que esto sea correcto.

Answer 1

Creo que la dirección contraria es falsa.

He aquí un ejemplo explícito. Consideremos $M_2(\mathbb{C}) = B(\mathbb{C}^2)$ y $$X= \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix}1 &0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$$

Entonces $X^*X = X$ et $Y^*Y = Y.$ Tenemos $$\|X\| = \|Y\| = 1$$ así que $\|X\| \le \|Y\|.$ Sin embargo, $$Y-X = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$$ no es una matriz positiva, por lo que $X \not\le Y$ .

---

En términos más generales $H$ cualquier espacio de Hilbert y $X,Y$ sean proyecciones ortogonales distintas en $B(H)$ . Entonces $\|X\| = \|Y\| = 1$ et $X \not\leq Y$ o $Y \not\le X$ es verdadera, por lo que se obtienen grandes familias de contraejemplos.