Encontrar soluciones enteras a $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=3$

Question

He estado mirando este problema que no tiene soluciones enteras positivas, y sentí curiosidad por el siguiente problema similar:

Intento encontrar soluciones para $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3$ donde $a,b,c \in \mathbb{N}$ .

Está bastante claro que $a=b=c=1$ es una solución, y por tanto $a=b=c=d\in \mathbb{N}$ es una familia de soluciones donde cada variable es la misma. (No es muy interesante). Tengo curiosidad por saber si existen otras soluciones y cómo encontrarlas. Si no es así, ¿cómo se podría demostrar que no existen?

Answer 1

AM-GM da

$$\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}}{3}\geq\sqrt[3]{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}} = 1$$

La igualdad se consigue cuando $\frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{z}{x}$ . Esto da $x = \frac{y^2}{z}$ y sustituyendo da $y^3 = z^3$ es decir $y = z$ . Por lo tanto, las únicas soluciones son $x = y = z = k$ donde $k\in\mathbb{Z}$ .