Caracterización equivalente de la convergencia en medida

Question

Sea $\left\{f_n\right\}$ et $f$ sean funciones medibles de un espacio de medidas $(X,\mathcal{M},\mu)$ a un espacio métrico $(Y,d)$ (con el Borel $\sigma$ -álgebra). Supongamos que $f_n\rightarrow f$ en medida; es decir, para todos $\epsilon>0$ y todos $\delta>0$ existe un $N$ tal que para todo $n\ge N$ , $$\mu(x\in X: d(f_n(x), f(x))\ge\epsilon)\le \delta.$$

¿Es la convergencia en medida equivalente a lo siguiente? Para todos $\epsilon>0$ existe un $N$ tal que para todo $n\ge N$ , $$\mu(x\in X: d(f_n(x), f(x))\ge\epsilon))\le \epsilon.$$

Recuerdo haber visto un resultado como este, pero no recuerdo dónde. Si es cierto, una prueba o referencia sería muy apreciada. ¡Incluso una garantía de la verdad sería genial! Quiero usar este resultado para otra prueba.

Answer 1

Sí que lo son. Asumiendo que la segunda es válida, entonces para $\epsilon>0$ et $\delta>0$ considera $\eta=\min\{\epsilon,\delta\}$ hay un $N$ tal que $\mu(\cdots\geq\eta)\leq\eta$ . Pero ahora $(\cdots\geq\epsilon)\subseteq(\cdots\geq\eta)$ Así que $\mu(\cdots\geq\epsilon)\leq\mu(\cdots\geq\eta)\leq\eta\leq\delta$ por lo que tenemos $\mu(\cdots\geq\epsilon)\leq\delta$ .