Resuélvelo con CBS: valor mínimo de $ 1/x + 4/y + 9/z $ con $x+y+z=1$

Question

¿Cómo se puede ver el valor mínimo de $ 1/x + 4/y + 9/z $ con $x+y+z=1$ utilizando la desigualdad CBS?

He visto una prueba de que el uso de sustituciones trigonométricas, pero no veo como un solo paso la solución utilizando la desigualdad CBS.

Answer 1

Considere positivo valores $x,y,z$ .

Denote $$(a,b,c)=\left( \frac{1}{\sqrt{x}}, \frac{2}{\sqrt{y}}, \frac{3}{\sqrt{z}}\right),$$ $$(A,B,C)=\left( \sqrt{x}, \sqrt{y}, \sqrt{z}\right),$$

entonces (por la desigualdad de CBS) $$(a^2+b^2+c^2)(A^2+B^2+C^2)\ge (aA+bB+cC)^2,$$ así que $$ \left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\right) \left(x+y+z\right)\ge (1+2+3)^2=36; $$ $$ \frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\ge 36. $$ (He añadido el cuadrado)

Answer 2

También puedes echar un vistazo al multiplicador de Lagrange, ya que es útil para encontrar dónde las desigualdades son agudas y cuáles son los valores máximos mínimos cuando se trata de números de carrete (sin la restricción de positivo-negativo);

Así que permítanme presentarles $k$ que es el multiplicador de Lagrange;

$f(x,y,z,k)=\dfrac1x+\dfrac4y+\dfrac9z+k(x+y+z-1)$ intentaremos minimizar esta expresión utilizando lo que sabemos sobre $x,y,z$ ; Toma las derivadas respecto a todas las variables;

$$f_k'=0$$ $$f_x'=k-\frac{1}{x^2}$$ $$f_y'=k-\dfrac{4}{y^2}$$ $$f_z'=k-\dfrac{9}{z^2}$$

Todas estas derivadas son iguales a $f_k'=0$ para que podamos decir;

$$k=\frac{1}{x^2}=\frac{4}{y^2}=\frac{9}{z^2}$$ $$\sqrt{k}=\frac1x=\frac2y=\frac3z=\frac{1+2+3}{x+y+z}$$ $$\sqrt{k}=\frac61=6$$ Así que $x=\dfrac16$ -- $y=\dfrac26$ -- $z=\dfrac36=\dfrac12$

$\frac1x=6+\frac4y=12+\frac9z=18=36$ ¡Hecho!