Para resolver la siguiente integral, se puede utilizar la u-sustitución: $$\int_2^3 \frac{9}{\sqrt[4]{x-2}} \,dx,$$ Con $u = \sqrt[4]{x-2}$ nuestros límites pasan a ser 0 y 1 respectivamente. Así, terminamos con lo siguiente: $$36\int_0^1{u^2} \,du$$ En el primer caso, el límite inferior es una asíntota vertical, por lo que tendríamos que utilizar límites para hallar la respuesta. Sin embargo, en el segundo caso ya no hay un límite asintótico - ¿todavía tendría que escribir los límites ya que la función original habría necesitado límites, o puede simplemente resolver esto mediante la inserción de los límites sustituidos? Sé que la respuesta final será la misma de cualquier manera, pero quiero saber si se puede considerar correcto excluir los límites en la 2ª integral desde una perspectiva técnica, ya que la función ha cambiado. Muchas gracias de antemano.
Respuestas
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Hay ciertas condiciones que deben cumplirse para que una sustitución sea "legal". En la mayoría de los casos, estas condiciones se cumplen de forma natural, por lo que no se hace hincapié en ellas.
Por ejemplo, Anton, Anderson y Bivens ( Cálculo, primeros trascendentales (11ª edición), teorema 5.9.1:
Teorema 5.9.1. Si $g'(x)$ es continua en $[a,b]$ y $f$ es continua en un intervalo que contiene los valores de $g(x)$ para $a\leq x\leq b$ , $$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.$$
Aquí tienes $g(x) = \sqrt[4]{x-2}$ Así que $g'(x) = \frac{1}{4}(x-2)^{-3/4}$ ... que es no continua en el intervalo $[2,3]$ en la que estás trabajando.
De hecho, como notas, la integral inicial es impropia, lo que significa que no estás realmente evaluando esa integral: estás evaluando un límite, $$\lim_{h\to 2^+}\int_h^3 \frac{9}{\sqrt[4]{x-2}}\,dx.$$ La integral en el límite sí satisface las condiciones del teorema anterior, por lo que se puede hacer la sustitución para obtener $$\lim_{h\to 2^+}\int_{\sqrt[4]{h-2}}^1 \frac{u^3}{u}\,du = \lim_{a\to 0^+}\int_a^1 u^2\,du,$$ y proceder a partir de ahí.
Sin demasiadas simplificaciones, la sustitución que citas da como resultado
$$\int_2^3\frac9{(x-2)^{1/4}}\,\mathrm dx=36\int_0^1\frac{u^3}u\,\mathrm du$$
que sin duda le invitamos a tratar como una integral impropia,
$$36\left(\frac13-\lim_{u\to0^+}\frac{u^3}3\right)$$
pero como $u=0$ es una discontinuidad removible y el limand se reduce a $u^2$ puede saltarse este tratamiento por completo.
Supón que debes hacerlo. Entonces tenemos $$9\lim_{a\to2^+}\int_a^3\frac1{\sqrt[4]{x-2}}\,dx.$$
Sea $u=x-2$ . Entonces tenemos $$9\lim_{a\to2^+}\int_{a-2}^1 u^{-1/4}\, du.$$
Por la regla de la potencia, tenemos $$9\lim_{a\to2^+} \left.\frac43u^{3/4}\right]_{a-2}^1=9\left[\frac43(1-\lim_{a\to2^+}(a-2)^{3/4})\right]=9\left[\frac43(1-0)\right]=12.$$
Tenga en cuenta que no hay diferencia si utiliza $\lim_{a\to2^+}(a-2)$ o $0$ .
