Condición para que 3 números complejos representen un triángulo equilátero

Question

$z_1$, $z_2$ y $z_3$ son 3 números complejos. Demuestre que si representan los vértices de un triángulo equilátero, entonces $z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0$ donde $\omega$ es una tercera raíz de la unidad. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Pista: Considera la expresión $a = z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3$. Es invariante bajo traslación ($(z_1,z_2,z_3) \mapsto (z_1+z,z_2+z,z_3+z)$) ya que $1+\omega+\omega^2=0$, y es homogéneo, es decir $a(zz_1,zz_2,zz_3) = za(z_1,z_2,z_3)$. Dado que todos los triángulos equiláteros pueden transformarse entre sí utilizando traslación y rotación/escalado (la operación corresponde a multiplicar todos los puntos por algún número complejo), es suficiente demostrar el resultado para algún triángulo equilátero fijo . Elige uno y haz los cálculos.

Answer 2

La respuesta de Yuval no se puede mejorar en cuanto a elegancia, pero vale la pena mencionar una solución un poco más desordenada

(tomando nota del perspicaz comentario de @ccorn, aquí enumeraremos explícitamente los vértices en sentido contrario a las manecillas del reloj, es decir, co-$\omega$-sentido). Es fácil ver geométricamente que la simetría equilátera se puede expresar en términos de la invarianza de la figura bajo la acción de $C_3$ representado como rotaciones alrededor del centroide del triángulo.

dado que la multiplicación por $\omega$ efectúa una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj a través de $\frac{2\pi}3$, para que el triángulo sea equilátero se requiere: $$ \left(z_1 - \frac{z_1+z_2+z_3}3 \right)\omega = z_2 - \frac{z_1+z_2+z_3}3 $$ es decir, $$ (2\omega+1)z_1-(2+\omega)z_2+(1-\omega)z_3 = 0 $$ y el resultado se sigue multiplicando por $\frac{1+2\omega^2}3$