¿Cómo puedo obtener la función de transferencia de un circuito desconocido a partir de su diagrama de Bode?

Question

Tengo el siguiente diagrama de cuerpo de algún circuito desconocido:

(Las líneas denotan las frecuencias de -3dB, f_low y f_high). Supongo que es un filtro resonante paso alto. No tengo información de fase, excepto que:

theta = -135 grados en f_low

theta = -80 grados en f_0 (frecuencia resonante)

theta = -31 grados en f_high

Sé con certeza que contiene entre 2 y 3 elementos del circuito incluyendo inductores, capacitores y resistencias, y sé que es pasivo. Mi suposición es que es un filtro paso alto de segundo orden. He calculado que la función de transferencia para dicho circuito debería ser:

H1(s) = (A*(s/w_0)^2) / (s^2 + s*(w_0/Q) + (w_0)^2)

donde w_0 es la frecuencia resonante en rad/s, Q es el factor de calidad, y A es la ganancia de alta frecuencia. En este caso, A = 1, w_0 = 2*pi*f_0, y `Q = (f_0)/(f_high - f_low)'.

A partir de aquí, debería ser capaz de llegar a una función de transferencia predicha dado lo que creo que es el circuito, que contendrá R, L y C como coeficientes, y usar la función de transferencia H1(s) para encontrar R, L y C. Un circuito de ajuste, según mi suposición, sería:

que tendría una función de transferencia:

H2(s) = (sL) / (R + 1/(sC) + sL)

que podría reorganizar a la forma de H1(s), y a partir de ahí podría igualar los coeficientes en cada función de transferencia H1(s) y H2(s) para encontrar valores apropiados de R, L y C.

Pero eso me da

R/L = w_0/Q

y

1/LC = w_0*Q

¿Hay alguna forma además de insertar valores y usar prueba y error para encontrar valores específicos de R, L y C?

Answer 1

Has hecho todas las cosas correctas, y casi llegas, pero falta un concepto.

Si conduces tu caja con una fuente de baja impedancia en Vin, y detectas la salida con un dispositivo de alta impedancia en Vout, entonces no puedes encontrar los valores de los tres componentes, solo puedes encontrar dos razones. Tienes la libertad de elegir un componente, luego puedes derivar los otros dos como razones en relación a este.

Esas dos razones son suficientes para encontrar la función de transferencia, cuando se coloca entre una impedancia cero e infinita.

Puede objetar que si elige 1 ohmio, o 1 kilohmio para la resistencia, ¿esto marca la diferencia? Sí marca la diferencia en la cantidad de corriente que la fuente tiene que proporcionar. Pero lo has dibujado como una fuente de voltaje, así que no le importará la carga que vea. De manera similar, no se extrae corriente de Vout. Si L y C son la proporción correcta al valor de la resistencia, entonces la función de transferencia será la misma.

Si quieres encontrar valores para los tres componentes, entonces debes usar una impedancia finita en uno o ambos puertos cuando hagas la medición. Esto proporciona un valor de resistencia de referencia, luego puedes escribir ecuaciones para los tres componentes con respecto a este valor. Desafortunadamente, como está dibujado, ya que la resistencia R1 está en serie con la fuente de voltaje V1, cualquier impedancia de origen agregada a V1 será inseparable de R1, por lo que una sola medición no funcionará. Una resistencia en derivación en Vout proporcionará una solución única, al igual que dos mediciones realizadas con dos valores diferentes de una resistencia en serie con V1.

Answer 2

Para un filtro de paso bajo o paso alto bastante resonante, Q está relacionado de manera bastante precisa con el valor de pico. Parece ser de 15 dB en tu gráfico, por lo que estimaría que Q es aproximadamente 5.6 (antilogaritmo de 15/20). A partir de esto, puedes predecir las relaciones de algunos de los componentes.

Por las mismas razones anteriores, la frecuencia resonante natural será muy cercana a la posición donde ocurre el pico y a partir de esto puedes entender el producto de L y C.

Con esta información puedes predecir un rango de valores que "encajen" y te den la respuesta mostrada, pero, como dice Neil_UK, el problema está subdeterminado, lo que significa que no hay un conjunto definitivo de valores.