Encuentre $p,q,r\in \mathbb Q$ tal que $r^2-5=p^2$ y $r^2+5=q^2$

Question

Encuentre $p,q,r\in \mathbb Q$ tal que $$r^2-5=p^2$$ $$r^2+5=q^2$$ He sumado y restado esos dos que no me han dado suerte.

Answer 1

He aquí una ampliación de mis comentarios.

Empezar por $p^2+q^2=2r^2$ . Denotemos $x=p/r,y=q/r$ . Entonces la ecuación se convierte en $x^2+y^2=2$ . Resolvemos todas las posibles soluciones racionales de la ecuación $x^2+y^2=2$ . Tiene una solución $P=(1,1)$ . Sea $Q\ne (1,-1)$ sea cualquier otro punto racional en este círculo, entonces la pendiente $k$ de $PQ$ es racional. La ecuación de la recta de $PQ$ puede expresarse como $y=k(x-1)+1$ . A partir de la ecuación de la recta y el círculo se obtiene $x$ -coordenada de $Q$ es $$(1)\quad x_Q=\frac{k^2-2k-1}{k^2+1}.$$

Debemos considerar otra ecuación $r^2-5=q^2$ que puede reescribirse como $$1-\frac{5}{r^2}=x^2.$$ De la ecuación (1) se obtiene $$\frac{5}{r^2}=1-x^2=\frac{4k(k-1)(k+1)}{(k^2+1)^2}.$$

Sea $Y=(k^2+1)/(2r)$ y $X=k$ la ecuación anterior se convierte en

$$5Y^2=X^3-X, X\ne 0, \pm 1.$$

Esta ecuación equivale a

$$(2)\quad Y^2=X^3-25 X. X\ne 0, \pm 5.$$

La curva elíptica anterior no tiene puntos de torsión distintos de $X=0,\pm 5$ . Desde $5$ es un número congruente, la curva elíptica (2) tiene infinitas soluciones. La referencia es el libro de N.Koblitz "Introduction to Elliptic curves and modular forms".

He aquí una solución $p=113279/1494696$ , $q=4728001/1494696$ , $r=3344161/1494696$ con $k=41^2/(5\cdot 12^2)$ .

Aquí encontrará más detalles sobre cómo encontrar soluciones a su problema. Esto es esencialmente la proposición 1.1 del libro de Koblitz. Llamamos a un número entero $n$ un número congruente si es área de un triángulo rectángulo cuyos lados son números racionales, es decir, si existe $X,Y,Z\in \textbf{Q}$ tal que $Z^2=X^2+Y^2$ y $n=\frac{1}{2}XY$ . Llamamos $(X,Y,Z)$ una solución del problema congruente para $n$ .

Consideramos a continuación su problema: (Problema (*)) dado un número entero positivo $n$ ¿es posible encontrar $p,q,r$ tal que $r^2-p^2=n, r^2-q^2=-n$ .

La proposición 1.1 del libro de Koblitz dice que los dos problemas anteriores son equivalentes de la siguiente manera.

Dada una solución $(p,q,r)$ del problema (*), sea $X=q+p,Y=q-p,Z=2r$ . Entonces $(X,Y,Z)$ es una solución del problema congruente para $n$ .

A la inversa, dada una solución de la $X,Y,Z$ del problema congruente, se puede encontrar una solución del problema congruente mediante $r=Z/2,q=(X+Y)/2,p=(X-Y)/2$ .

Ahora tu pregunta se convierte en cómo encontrar un problema congruente para 5. He aquí una solución clásica $(X=20/3,Y=3/2,Z=41/6)$ . Utilizando la correspondencia anterior y esta solución clásica, se puede obtener una solución más fácil de su problema $$p=31/12,q=49/12,r=41/12.$$

Mi solución anterior es demasiado complicada, y también procede del libro de Koblitz. El método de la curva elíptica tiene al menos una ventaja: a partir de una solución, se pueden obtener infinitas soluciones por ley de adición de la curva elíptica.

En general, el problema de los números congruentes es muy difícil y probablemente no se resuelva en su forma más general. Se trata de un campo de investigación activo.

Answer 2

Multiplicando $$r^2-5=p^2$$ por $-1$ y sumando a la segunda obtenemos $$10=p^2-q^2$$ Escribiendo esta ecuación en la forma $$10=(q-p)(q+p)$$ ¿puedes terminar ya?