Suma de productos escalares de vectores linealmente independientes

Question

Supongamos que tengo $n$ vectores columna de igual longitud $\{\vec{a}_i\}_{i \in \{1,...,n\}}$ que son linealmente independientes entre sí. Supongamos que tengo otra $n$ vectores columna $\{\vec{b}_i\}_{i \in \{1,...,n\}}$ de la misma longitud que $\{\vec{a}_i\}_{i \in \{1,...,n\}}$ que sé que también son linealmente independientes entre sí. Por último, supongamos que ahora sé que:

$$\sum_i \vec{a}_i'\vec{b}_i = 0$$

¿Es esta información suficiente para concluir alguno de los siguientes resultados? En caso afirmativo, ¿por qué?

• $\vec{a}_i=\vec{0}$ para todos $i$ .
• $\vec{b}_i=\vec{0}$ para todos $i$ .
• $\vec{a}_i'\vec{b}_i=\vec{0}$ para todos $i$ .

(Dónde $\vec{0}$ es el vector cero de dimensión adecuada).

Answer 1

Me ceñiré a dos dimensiones para facilitar la notación: $$ a_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad a_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad b_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad b_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix} $$

Entonces $a_1^Tb_1+a_2^Tb_2 = 1-1 = 0$ y sin embargo ninguno de $a_i$ , $b_i$ ni $a_i^Tb_i$ son cero, a pesar de ser pares de vectores linealmente independientes.