Mostrando $f'(x) = f(x)$ implica una función exponencial

Question

Posibles Duplicados:
La prueba de que $\exp(x)$ es la única función para la que $f(x) = f'(x)$

¿Cómo puedo mostrar la declaración de $f'(x) = f(x)$ implica que la función se define como: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \rightarrow a\cdot \exp(x)$ sin el uso de las integrales.

Mi intento de solución: He intentado mostrar que la serie de Taylor de $f$ tiene la misma estructura $a\cdot \exp(x)$, pero no puedo demostrar que el error en la serie converge a cero.

Answer 1

Que $$G(x)=\frac{f(x)}{e^x}.$ $ distinga y uso $f'(x)=f(x)$ $G'(x)$ idénticamente es $0$.

Entonces o bien citar el teorema que dice que una función cuya derivada es idénticamente $0$ es constante. O bien alternativamente demostrar este teorema utilizando el teorema del valor medio.

Tenga en cuenta que más o menos la misma prueba muestra eso si $f'(x)=kf(x)$, donde $k$ es una constante, entonces $f(x)=Ce^{kx}$ $C$ constante.

Answer 2

que $g(x) = f(x) \cdot\exp(-x)$, entonces usted tiene cada $x \in \mathbb R$:\begin{align*} g'(x) &= f'(x)\exp(-x) - f(x)\exp(-x)\\ &= f(x)\exp(-x) - f(x)\exp(-x)\\ &= 0. \end{align*} $g$ es constante.

AB,

Answer 3

Realmente, la integración es antiderivada, lo que significa que si usted sabe cómo hacer derivados, usted sabe cómo hacer las integrales. Así que, no estoy exactamente seguro de lo que quieres decir, por no utilizar las integrales. Por ejemplo, esto es fácil de Calc 1 prueba:

$\begin{align*} f'(x) &= f(x) \\ \frac{f'(x)}{f(x)} &= 1 \\ \left(\ln (f(x))\right)' &= 1 \\ \ln (f(x)) &= x + C \\ f(x) &= e^{x + C} = a e^x \end{align*}$

Así que, ¿puedo usar la integración? O ¿sólo tengo el conocimiento de que la única función cuya derivada es 1 debe ser de la forma $x + C$, para una constante $C$? Todo lo que necesita saber que es $\frac{d}{dx} x = 1$ y el siguiente teorema:

Si $F'(x) = G'(x)$ todos los $x$$(a, b)$, entonces no es una constante $C$ tal que $F(x) = G(x) + C$ todos los $x$$(a, b)$.

Esto se da en la sección sobre la Media del Teorema del Valor de los instrumentos Derivados en Varburg, Purcell, y Rigdon, antes de antiderivatives o integrales son introducidos. Y, de la prueba, se utiliza el MVT, y ninguna teoría sobre la integración.

Answer 4

Sólo por diversión (utilizando el "enfoque de Taylor"):

Supongamos $f_1$ $f_2$ son dos funciones tanto de que satisfagan las condiciones $$\etiqueta{1} f'(x)=f(x),\quad \text{para todo }\ x\in\Bbb R $$ y $$\etiqueta{2} f(0)=1. $$ Deje $F=f_1-f_2$. Uno fácilmente se comprueba que $F$ satisface $(1)$$F(0)=0$. También se comprueba fácilmente, por inducción, que $F^{(n)}(x)=F(x)$ para todos los enteros positivos $n$ y todos los $x\in\Bbb R$.

Ahora, fix $x\in\Bbb R$. Deje $I_x$ ser el intervalo cerrado con extremos de $0$$x$. Por Taylor Teorema tenemos para $n$ fijo enteros positivos: $$ F(x)=F(0)+{F'(0)\más de 1!}x +\cdots+{F^{(n-1)}(0)\(n-1)!}x^{n-1} +{F^{(n )}(c_n)\sobre n !}x^{n } $$ para algunos $c_n$$0$$x$.

Pero $F^{(k)}(0)=F(0)=0$ por cada $1\le k\le n-1$; por lo tanto, $$\etiqueta{3} F(x) = {F^{(n )}(c_n)\sobre n !}x^{n }={F(c_n)\sobre n!}x^n. $$ Desde $F$ es continua en a $I_x$, se desprende $(3)$ que $$\etiqueta{4} |F(x) |\le {K\sobre n !}|x|^{n }, $$ para algunas constantes $K$ independiente de $n$.

Como $n$ fue arbitraria se desprende de lo $(4)$ que $F(x)=0$.

Como $x$ fue arbitraria, se deduce que el $f_1=f_2$.

De esto se sigue que la única función de la satisfacción de $(1)$$(2)$$f(x)=e^x$; donde la única función de la satisfacción de $f'=f$$f(0)=a$$f(x)=ae^x$.