Residuo en un polo simple

Question

Estoy estudiando para variable compleja. Y, vi este problema, y, no estoy seguro de si la respuesta es correcta o no. ¿Es correcta? No puedo seguir "el único punto singular de la función f fuera de la curva es $z = \infty$ "

Answer 1

Sustituyendo $z\mapsto\frac1z$ y dejando $\widetilde\gamma=\frac12e^{-it}$ obtenemos $$ \begin{align} \int_\gamma\frac{e^{1/z}z^5}{z^6+1}\,\mathrm{d}z &=-\int_{\widetilde\gamma}\frac{e^z}{z(z^6+1)}\,\mathrm{d}z\\ &=2\pi i\operatorname*{Res}_{z=0}\left(\frac{e^z}{z(z^6+1)}\right)\\[6pt] &=2\pi i \end{align} $$