Demostración de que las gaussianas son funciones propias de la transformada de Fourier

Question

Estoy teniendo problemas con este problema:

He intentado evaluar la integral directamente (utilizando el truco del cálculo multivariable de "elevar al cuadrado" la integral y convertirla a coordenadas polares), pero no he conseguido nada. ¿Alguien tiene alguna sugerencia sobre por dónde empezar?

Sólo para contextualizar, esto es para análisis complejos.

Answer 1

La transformada de Fourier convierte la diferenciación en multiplicación y la multiplicación en diferenciación, lo que está definitivamente relacionado con la EDO $$ \frac{d}{dx}\left(e^{-ax^{2}}\right) = -ax\left(e^{-ax^{2}}\right),\\ \left(e^{-ax^{2}}\right)|_{x=0} = 1. $$ Por tanto, la transformada de Fourier de $e^{-ax^{2}}$ también debe ser una gaussiana porque la EDO anterior se transforma en una EDO relacionada. Explícitamente, si $F_{a}(s)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^{2}}\,dx$ entonces $$ \frac{d}{ds}F_{a} = -\frac{1}{2a}F_{a}, \\ F_{a}(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^{2}}\,dx, $$ que tiene solución única $$ F_{a}(s) = F_{a}(0) e^{-x^{2}/4a}. $$

Answer 2

Pista:

$$e^{-x^2/2} e^{-itx} e^{t^2/2} = e^{ \frac{(ix-t)^2}{2} }$$

Answer 3

Usted tiene $e^{-x^2/2} e^{-itx}$ . El exponente es $$ \begin{align} -\frac{x^2}{2} - itx & = -\frac 1 2 (x^2 + 2itx) \\[10pt] & = -\frac{1}2 \left((x^2+2itx+ (it)^2) - (it)^2\right) \tag{completing the square} \\[10pt] & = -\frac 1 2 \left( (x+it)^2 - t^2\right) \end{align} $$ Así que estás integrando $$ e^{-(1/2)(x+it)^2} \cdot \underbrace{{}\ \ e^{t^2/2}\ \ {}}_{\text{no $ x $ appears here}} $$ El factor en el que no $x$ puede extraerse de la integral cuando la variable con respecto a la cual se está integrando es $x$ .

Entonces la integral es $\text{constant}\cdot\int_{-\infty}^\infty e^{-(1/2)(x - \text{something})^2} \,dx$ . Lo último que hay que hacer es demostrar que el valor de la integral no depende del "algo". Se puede escribir $u = (x-\text{something})$ y $du=dx$ etc.

Answer 4

Ampliar $\exp(itx)$ utilizando la de Euler y obsérvese la simetría de los límites. Explícitamente tenemos

$ \begin{align} I &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(\frac{-x^{2} - 2itx}{2}\right)\,\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)\big(\cos(tx) - i\sin(tx)\big)\,\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n\geqslant 0}(-1)^{n}\frac{(tx)^{2n}}{(2n)!}\exp\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)\,\mathrm{d}x \\ &( \text{ Note that $\sin(tx)$ is an odd function so $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin(tx)\exp\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)\,\mathrm{d}x = 0$ )} \\ \end{align} $

A partir de aquí se cambia el orden de la suma y el signo de la integral ( justificado por el Teorema de Convergencia Dominada ) y se puede evaluar la integral resultante de varias formas; función gamma, diferenciando bajo el signo de la integral, etc.