Función característica de la distribución gamma de varianza

Question

Tengo problemas para probar la función característica de la distribución Gamma de varianza.

El modelo VG se obtiene a partir de la distribución normal mediante la mezcla en el parámetro de varianza. Sea $R_t$ sea la rentabilidad y supongamos que la distribución de $log(R_t)$ es normal con media $\mu$ y una varianza aleatoria $\sigma^2V$ . Ambos $\mu$ y $\sigma^2$ son constantes conocidas. Con la distribución de $V$ se considera gamma con $c$ y $\gamma$ como parámetros. Así, la función de densidad de $V$ es

$$g(v)=\frac{c^\gamma v^{\gamma-1}e^{-cv}}{\Gamma(\gamma)}$$

Si $X=log(R_t)-\mu$ entonces, según Madan y Seneta (1990), la densidad de $X$ es:

$$f(x)=\int_0^\infty[{e^{-x^2/2\sigma^2v}}/(\sigma\sqrt{2v\pi})]g(v)dv$$

En la revista se dice que no existe una forma cerrada para $f(x)$ . Sin embargo, la función característica de $X$ tiene la forma cerrada condicionando a $V$ dado por $$\phi{_X}(u)=[1+(\sigma^2v/m)(u^2/2]^{-m^2/v}$$

donde $m=\frac{\gamma}{c}$ y $v=\frac{\gamma}{c^2}$ son tanto la media como la varianza de $g(v)$ respectivamente.

He intentado hacerlo mediante varias técnicas de integración, pero me he atascado en el cálculo de la integral doble y la integración compleja. Uno de mis amigos me sugirió que lo resolviera utilizando el software Maple, pero todavía no sabemos qué método de integración podría resolver este problema.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$X \mid V \sim \operatorname{Normal}(0,\sigma^2 V).$$ Así, $$\varphi_X(t) = \operatorname{E}[e^{itX}] = \operatorname{E}[\operatorname{E}[e^{itX} \mid V]] = \operatorname{E}[\varphi_{X \mid V}(t)] = \operatorname{E}[e^{-\sigma^2 t^2 V/2}] = M_V(\sigma^2 t^2/2),$$ donde $M_V$ es la función generadora de momentos de $V$ . Para una distribución gamma con forma $\gamma$ y tasa $c$ tenemos $$M_V(t) = (1 - t/c)^{-\gamma},$$ de ahí $$\varphi_X(t) = \left(1 + \frac{\sigma^2 t^2}{2c} \right)^{-\gamma}.$$ Cuando se expresa en términos de la media $m = \gamma/c$ y varianza $v = \gamma/c^2$ de $V$ obtenemos inmediatamente el resultado dado, ya que $\gamma = m^2/v$ y $c = m/v$ . Si espera obtener este resultado mediante integración directa, se lo desaconsejo, ya que es innecesariamente tedioso. Pero si insiste, tendríamos que evaluar $$\varphi_X(t) = \int_{x=-\infty}^\infty \int_{v=0}^\infty e^{itx} \frac{e^{-x^2/(2\sigma^2 v)}}{\sqrt{2\pi v} \sigma} \frac{c^\gamma v^{\gamma - 1} e^{-cv}}{\Gamma(\gamma)} \, dv \, dx.$$ Esto se consigue intercambiando el orden de integración y evaluando primero $$\int_{x=-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( itx - \frac{x^2}{2\sigma^2 v} \right) \, dx = \sigma \sqrt{v} e^{-\sigma^2 t^2 v/2}, \quad \sigma, v > 0.$$ Entonces la integral resultante con respecto a $v$ es $$\frac{c^\gamma}{\Gamma(\gamma)} \int_{v = 0}^\infty v^{\gamma-1} e^{-(c - \sigma^2 t^2/2)v} \, dv = c^\gamma\left(c + \frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)^{-\gamma},$$ y el resultado es el siguiente. Pero, de nuevo, ¿por qué? Esto es simplemente reproducir el trabajo de derivar una función característica Normal y una MGF Gamma.