Teorema hipervirial para potenciales centrales

Question

Vi un ejercicio sobre el teorema hiper virial para un potencial central y, al buscar algunas pistas, descubrí que no ha sido resuelto aquí, así que después de encontrar la solución pensé que podría incluirlo también en caso de que alguien lo encuentre útil (por alguna razón, solo lo encontré hasta la escuela de posgrado).

Considera un potencial central de la forma $V(r)=kr^{-s}$. Muestra que el teorema hiper virial satisface:

$$\langle p_r r^s\rangle=-\frac{i\hbar s}{2}\langle r^{s-1}\rangle$$

Donde $p_r=-i\hbar\partial/\partial_r$ y $s\in Z$

Answer 1

La forma más simple de demostrarlo es considerando el conmutador:

$[p_r,r^s]=r[p_r,r^{s-1}]+[p_r,r^{s-1}]r=r^2[p_r,r^{s-2}]+2r[p_r,r^{s-2}]+[p_r,r^{s-2}]r^2+...+=r^{s-1}[p_r,r]+...+[p_r,r]r^{s-1}=r^{s-1}(-i\hbar)+.. (\textrm{otros} \ (s-2) \ \textrm{Términos con} \ r^{s-1})..+(-i\hbar)r^{s-1}=-i\hbar sr^{s-1}$

Tomando el valor esperado:

$\langle[p_r,r^s]\rangle=-i\hbar\langle r^{s-1}\rangle$

Por otro lado:

$\langle[p_r,r^s]\rangle=\langle p_r r^s-r^s p_r \rangle=\langle p_r r^s\rangle-\langle r^s p_r \rangle=\langle p_r r^s\rangle+\langle p_r r^s\rangle$

Para estados estacionarios. Por lo tanto:

$\langle[p_r,r^s]\rangle=2\langle p_r r^s\rangle$

$$\langle p_r r^s\rangle=-\frac{i\hbar s}{2}\langle r^{s-1}\rangle$$

Lo cual completa la demostración. Si consideras útil agregar otro método, siéntete libre de hacerlo.