Suavidad de hipersuperficies en grassmanianos

Question

Tengo una pregunta general y luego la versión específica de esa pregunta que necesito para la investigación. Todos los espacios vectoriales sobre $\mathbb{C}$ .

Grassmanianos de planos

En $(2,n)$ -Grassmanniano, denotado $Gr(2,n)$ es el espacio de todos los subespacios bidimensionales de $n$ espacio dimensional. Se trata naturalmente de una variedad compleja completa. Su estructura de variedad suele realizarse mediante la Empotramiento

$$Gr(2,n)\hookrightarrow \mathbb{P}^{\binom{n}{2}}$$

Empieza con un espacio $V\subset \mathbb{C}^n$ elige vectores base $v_1,v_2$ y, a continuación, los mapas $V$ al punto en $\mathbb{P}^{\binom{n}{2}}$ con coordenada homogénea dada por todos $2\times 2$ -menores de la $2\times n$ matriz con filas $v_1,v_2$ .

Para $i,j\in [n]$ El Coordenadas de Plucker $x_{ij}$ es el $\{i,j\}$ coordenada homogénea en $\mathbb{P}^{\binom{n}{2}}$ por lo que la composición con la incrustación Plucker corresponde a la $ij$ menor. La imagen de este mapa está definida por la homogénea Relaciones con Plucker . Para todos, $i<j<k<l$ se tiene $$ x_{ik}x_{jl}=x_{ij}x_{kl}+x_{il}x_{jk}$$ Sea $\mathcal{O}Gr(2,n)$ denotan el anillo de coordenadas homogéneo es el álgebra graduada generada por las coordenadas de Plucker, módulo de las relaciones de Plucker.

El grupo $PGL_n(\mathbb{C})$ actúa transitivamente sobre $Gr(2,n)$ por su acción sobre $\mathbb{C}^n$ . Por lo tanto, $Gr(2,n)$ es un espacio homogéneo. De ello se deduce inmediatamente que $Gr(2,n)$ es una variedad lisa e irreducible.

Suavidad de hipersuperficies

Cualquier elemento homogéneo $f$ en $\mathcal{O}Gr(2,n)$ define una hipersuperficie $V_f$ en $Gr(2,n)$ . Mi pregunta general es:

¿Cómo se puede comprobar eficazmente si $V_f$ ¿es suave?

Como ejemplo del problema, la principal técnica general que conozco para demostrar que una variedad es suave es incrustarla en un espacio afín o proyectivo con codimensión $c$ y, a continuación, compruebe el $c\times c$ menores de la matriz jacobiana del ideal definidor. El problema con este enfoque es que la codimensión de la incrustación de Plucker es bastante grande en general, y los menores se vuelven rápidamente difíciles de manejar.

Mi preocupación específica

Fuera de la curiosidad, no me interesa el problema para hipersuperficies generales. La hipersuperficie concreta que tengo en mente viene definida por $f=x_{ij}-x_{kl}$ la diferencia de dos coordenadas Plucker. Esta es una variedad frustrantemente simple, pero estoy teniendo problemas para decir cosas sobre ella. ¿Es suave? ¿Es irreducible?

De forma más general, puedo considerar el subesquema definido por la intersección de varias hipersuperficies de esta forma. ¿Es suave? ¿Es irreducible?

Answer 1

He aquí la respuesta a su pregunta concreta (y, de hecho, algo un poco más general):

La hipersuperficie definida por $f=x_{ij}-x_{kl}$ (suponiendo que $i$ , $j$ , $k$ y $l$ son distintos) es suave si $n\le 5$ y singular para $n>5$ . El lugar singular está formado por $2$ -que se encuentran en la codimensión $4$ subespacio formado por $0$ más los vectores $v$ tal que el emparejamiento $v$ con cualquier vector linealmente independiente genera un $2$ -que sigue estando en la hipersuperficie.

La forma de pensarlo más geométricamente es la siguiente: Tomemos cualquier $2$ -forma $\Omega$ en $\mathbb{C}^n$ . Consideremos el conjunto $Z_\Omega\subset Gr(2,n)$ que consiste en $2$ -aviones en los que $\Omega$ desaparece. Se trata de una hipersuperficie en $Gr(2,n)$ de exactamente el tipo que está considerando en su problema específico. Deje que $N\subset\mathbb{C}^n$ sea el espacio nulo de $\Omega$ es decir, el subespacio formado por los vectores $v\in\mathbb{C}^n$ tal que $\Omega(v,w) = 0$ para todos $w\in\mathbb{C}^n$ . Entonces a $2$ -avión $V$ es un punto singular de $Z_\Omega$ sólo si $V$ es un subespacio de $N$ .

En su caso particular, $\Omega = dz^i\wedge dz^j - dz^k\wedge dz^l$ Así que $N$ es el subespacio definido por $z^i = z^j = z^k = z^l = 0$ .

En el caso más general, la codimensión de $N$ es el doble del mayor número entero $\rho$ tal que $\Omega^\rho\not=0$ .

Estas afirmaciones pueden comprobarse fácilmente en un gráfico sobre $Gr(2,n)$ .

Addendum: Olvidé responder a la pregunta sobre si la hipersuperficie $Z_\Omega$ es irreducible. Lo es. La razón es que el lugar liso es conexo, como se deduce sin demasiada dificultad de la descripción anterior.

Además, preguntabas si la intersección de varias de estas hipersuperficies "lineales" es siempre conexa. La respuesta es "no". Como ejemplo sencillo, tomemos el lugar geométrico definido por $x_{13}=x_{14}=x_{23}=x_{24}=0$ en $Gr(2,4)$ . Consta de dos puntos, un par de 2 planos en posición general en $\mathbb{C}^4$ .

En general, decidir si una intersección de este tipo es suave o conexa (o incluso no vacía) no es fácil. En la teoría de los sistemas diferenciales exteriores, existe un criterio que es suficiente para que un punto en $Gr(2,n)$ ser suave que a menudo es útil, aunque esté lejos de ser necesario. Lo describiré brevemente aquí, pero puedes obtener más información en nuestro libro Sistemas diferenciales exteriores .

Para simplificar la notación, denotaré $\mathbb{C}^n$ por $W$ . Sea $\Sigma\subset \Lambda^2(W^\ast)$ sea un subespacio lineal, y sea $Z_\Sigma\subset Gr(2,W)$ denotan el conjunto de $2$ -aviones $V\subset W$ tal que todos los elementos de $\Sigma$ desaparecer en $V$ . Quiero definir el lugar $Z^o_\Sigma\subset Z_\Sigma$ de ordinario elementos, y éstos serán puntos suaves de $Z_\Sigma$ . Para ello, para cada $w\in W$ consideremos el espacio vectorial $H(w)\subset W$ formado por todos los vectores $v\in W$ tal que $\Omega(v,w)=0$ para todos $\Omega\in\Sigma$ . Digamos que $w$ es $\Sigma$ -regular si la dimensión de $H(w)$ es mínima entre todas $w\in W$ . (El $\Sigma$ -elementos regulares en $W$ forman un subconjunto abierto de Zariski de $W$ .) Digamos que $V\in Z_\Sigma$ es $\Sigma$ -ordinario si $V$ contiene un $\Sigma$ -vector regular.

No es difícil demostrar que el conjunto $Z^o_\Sigma\subset Z_\Sigma$ compuesto por $\Sigma$ -consiste en puntos suaves de $Z_\Sigma$ y su cierre es un componente irreducible de $Z_\Sigma$ . Sin embargo, $Z^o_\Sigma$ podría estar vacía, aunque $Z_\Sigma$ no es vacío (e incluso podría ser liso). Para los propósitos de los sistemas diferenciales exteriores, sin embargo, $Z^o_\Sigma$ resulta ser la parte más interesante de $Z_\Sigma$ (cuando no está vacío).

Answer 2

En el caso de los grassmanianos y, más en general, de los espacios homogéneos, a veces es mucho más fácil comprobar si una subvariedad es suave comprobándolo en cada gráfico, ya que todos los gráficos son espacios afines (de dimensión mucho menor).

Tome las ecuaciones locales que definen su variedad en cada gráfico y utilice el criterio jacobiano en cada uno de esos conjuntos de ecuaciones.

Para obtener ecuaciones locales a partir de ecuaciones globales (para el Grassmanniano), recordemos que un gráfico es donde una coordenada Pluecker particular dada $p_I$ no desaparece, y el propio gráfico es un espacio afín con coordenadas $p_J/p_I$ donde $J$ difiere de $I$ por un elemento, y otras coordenadas de Pluecker pueden escribirse como determinantes de éstas. (Puedo dar más detalles, pero no los descifraré si nadie está interesado).

A veces, por razones generales, sabrá que si la variedad es singular debe haber un punto singular en una carta específica, lo que le facilitará aún más la vida.