Invirtiendo la ecuación de $T_{\mu\nu}$ en términos de $F_{\mu\nu}$

Question

El tensor tensión-energía para el electromagnetismo viene dado por: $$ T_{\mu \nu} = F_{\mu}\,^{\alpha}F_{\nu\alpha}-\frac{1}{4}g_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta} $$

¿Cómo puedo encontrar $F_{\mu\nu}$ en términos de $T_{\mu\nu}$ ?

Reescribiendo la ecuación anterior utilizando: $$ T_{\mu\nu}=- F_{\mu \alpha} g^{\alpha\beta} F_{\beta\nu} + \frac{1}{4} g_{\mu \nu}g^{\alpha\beta}F_{\beta\delta}g^{\delta\gamma} F_{\gamma\alpha}$$ a partir de la cual podemos escribir lo siguiente $4\times4$ ecuación matricial para las tres matrices $T,\,F,\,g$ , donde $T$ es simétrica, $F$ es antisimétrico y $g$ es simétrica e invertible: $$ T = -F g^{-1} F+\frac{1}{4}\left(\mathrm{Tr}\, \left[g^{-1}Fg^{-1}F\right]\right)\,g$$

La única forma que se me ocurre es escribir 10 ecuaciones (ya que hay componentes libres en $T^{\mu\nu}$ ) y luego tratar de encontrar las 6 incógnitas (ya que hay componentes libres de $F^{\mu\nu}$ ).

¿Hay una forma mejor de hacerlo?

Answer 1

Ver la edición de abajo, la respuesta original no es completamente correcta.

No hay libertad de calibre en $F$ . $F$ es invariante gauge.

De hecho, $F$ es completamente medible. Sus componentes son los campos eléctricos y magnéticos, por lo que sólo hay que salir con un conjunto de cargas de prueba y medir $E$ y $B$ y tienes $F$ .

Una pista que $T$ y $F$ no contienen la misma cantidad de información es que tienen diferente número de componentes independientes. $F$ tiene 6 componentes independientes como tensor antisimétrico, mientras que $T$ tiene 10 como simétrico. Esto no es una prueba de nada, sino un indicio de que están capturando cosas diferentes.

Si se trabaja localmente (es decir, en un punto), la forma sencilla de ver esto explícitamente es utilizar las transformaciones de Lorentz. El tensor de energía de la tensión tiene $10$ componentes independientes ya que es un tensor simétrico, podemos utilizar la $6$ Transformaciones de Lorentz para diagonalizar $T$ . Entonces tenemos 4 ecuaciones

\begin{eqnarray} T_{00} &=& \frac{1}{2}\left(E^2 + B^2\right) \\ T_{ii} &=& (E_i^2 - \frac{1}{2}E^2) + (B_i^2 - \frac{1}{2}B^2) \end{eqnarray} No hay ninguna suma superior a $i$ implícita en la segunda ecuación, es sólo una forma rápida de escribir las 3 ecuaciones espaciales.

Ya ves que no hay forma de resolverlos. Por un lado, hay más componentes en $E$ y $B$ que los que hay en $T$ en este marco. Por otro lado, como los campos aparecen al cuadrado, no hay forma de determinar el signo de ninguna de las componentes de $E$ o $B$ .

Además no se puede diferenciar entre $E$ y $B$ (es decir, dado $T_{00}$ ¿Quién va a decir si usted tiene $E^2=0$ o $B^2=0$ o ninguna de las dos cosas)? Este último punto es una consecuencia de la dualidad electromagnética: en ausencia de materia, la física de E/M es invariante bajo $E\rightarrow B$ , $B\rightarrow -E$ .

EDITAR :

Lo anterior no es del todo correcto en los detalles (aunque creo que la conclusión es correcta). Por la razón que sea, he descuidado el hecho de que siempre hay 10 componentes de $T_{\mu\nu}$ por lo que siempre hay 10 ecuaciones, incluso en el marco en el que $T$ es diagonal. En particular, también existen condiciones como \begin{eqnarray} 0 &=& E_x E_y + B_x B_y \\ 0 &=& E_x B_y - E_y B_x \end{eqnarray} Así que mi argumento de contar, "Hay más variables que ecuaciones", era incorrecto. Esto encaja con la idea de que $T$ tiene más componentes que $E$ --en todo caso basándose en el conteo se podría pensar que la computación $T$ de $E$ era lo más difícil de hacer. (De hecho, esto es genéricamente cierto: los tensores de energía de tensión que se obtienen de la teoría de campos no son los tensores de energía de tensión más generales que se pueden escribir. Hay muchos tensores de energía de tensión que se pueden escribir y que no provienen de un lagrangiano).

La verdadera razón por la que esto no funcionará, por lo que veo, es la dualidad electromagnética, así como el hecho de que todo es cuadrado. Simplemente no hay manera de distinguir $E$ de $B$ si se escriben todos los componentes. En otras palabras, la dualidad significa que las ecuaciones tienen una degeneración, por lo que hay menos ecuaciones de lo que parece ingenuamente, por lo que no se puede resolver para todos los componentes.

Por otra parte, si usted sabe $T$ en todas partes No sólo a nivel local, eso es una historia totalmente diferente. Eso es porque (1) si usted sabe $T$ en todos los lugares donde se puede diferenciar, y (2) $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ es sólo las ecuaciones de maxwells $\partial_\mu T^{\mu\nu}=\partial_\mu F^{\mu\nu}$ posiblemente hasta un factor global. Así que, salvo las advertencias habituales sobre la necesidad de conocer las condiciones de contorno, si se sabe $T$ en todas partes se pueden resolver las ecuaciones de maxwell para obtener $F$ .

Moraleja: no creas todo lo que lees en Internet.

Answer 2

La forma más fácil que se me ocurre en el espacio de Minkowski, sin hacer el álgebra en términos de matrices, es utilizar $$\begin{split} f^a &= \rho E^a + \epsilon^{abc} J_b B_c = \partial_b T^{ab} - \epsilon_0 \mu_0 \partial_t S^a\\ \frac{\partial T^{00}}{\partial t} &= - \vec{J}\cdot \vec{E}- \vec{\nabla} \cdot \vec{S} \end{split},$$ con $S^a \equiv \frac{1}{\mu_0} \epsilon^{abc} E_b B_c = T^{0a},$ $a,b \in \{1,2,3\}$ y espero que los campos sean fáciles de discernir.

Quizás la forma más simétrica $$\frac{1}{2} (F_\mu{}^\rho F_{\nu\rho} + \star F_\mu{}^\rho \star\! F_{\nu\rho}),$$ con la estrella denotando el dual de Hodge, resultará más fácil de manejar en el espaciotiempo curvo, si se consigue romper $T_{\mu\nu}$ en una suma de matrices de estructura similar.