En el artículo "En un problema de Zariski", David Rees presenta un contraejemplo al siguiente problema de Zariski.
Sea $F / k$ una extensión de campo f.g., $S$ un dominio integral normal f.g. sobre $k$ tal que $Q(S) \supseteq F$. ¿Es $S \cap F$ un álgebra sobre $k$ finitamente generada?
Su construcción comienza con una curva suave $C$ en $\mathbb{P}^2$ sobre $\mathbb{C}$ y $p \in C$, y $\mathfrak{p} = I(p) \subseteq \mathbb{C} [x_0, x_1, x_2]$. Produce un cierto anillo $A$. Ahora muestra la implicación (de la cual los detalles no son importantes para mi pregunta, creo):
Si $A$ tiene la propiedad de Nagata (definida en el artículo), entonces existe un $m \in \mathbb{N}$ tal que la potencia simbólica $\mathfrak{p} ^ {(m)}$ es un ideal principal.
Él afirma que geométricamente, esto significa que existe una curva $D$ en $\mathbb{P}^2$ que interseca $C$ solo en $p$, con multiplicidad $m$. Usando otros resultados del artículo, basta tomar un par adecuado $(C, p)$ y demostrar que el anillo obtenido no tiene la propiedad de Nagata. Él hace esto de la siguiente manera, y aquí es donde no entiendo un paso, ya que no sé mucho sobre las curvas elípticas.
Sea $C$ una curva elíptica cúbica suave. Si consideramos la parametrización de $C$ por funciones elípticas, entonces la condición de que debe existir una curva que se encuentre con $C$ varias veces en $p$ y en ningún otro punto es que el valor del parámetro en $p$ debe ser un múltiplo racional de un período. Por lo tanto, sigue que hay puntos $p$ en $C$ tales que ningún múltiplo de $p$ es una intersección completa, y para tales puntos, el anillo construido anteriormente no tiene la propiedad de Nagata.
¿Tiene este propiedad de las curvas elípticas un nombre? ¿Qué significa la parte "ningún múltiplo de $p$ es una intersección completa"? Según el texto anterior, esta propiedad debería garantizar que hay puntos en una curva cúbica elíptica suave tales que para cada $m$, no existe otra curva en $\mathbb{P}^2$ que interseca $C$ solo en este punto con multiplicidad $m. Supongo que podemos deshacernos de $m$ aquí: existe $p \in C$ tal que no hay otra curva $D$ que interseca $C$ solo en $p. ¿Cómo se llama esta propiedad (y la traduje correctamente?), ¿y dónde puedo aprender más al respecto?
¡Gracias de antemano!
