Mi pregunta puede estar relacionada con éste pero no pude descifrar la conexión. De todos modos aquí estamos: Estoy aprendiendo sobre las cadenas de Markov en el libro de Rozanov "Probability theory a concise course". En este libro, una cadena de Markov se define esencialmente como una colección de variables aleatorias discretas $\xi(n)$ en tiempo discreto, que satisfacen la homogeneidad temporal, es decir $$\mathbb{P}(\xi(n+1)=\epsilon_j|\xi(n)=\epsilon_i) = \mathbb{P}(\xi(1)=\epsilon_j|\xi(0)=\epsilon_i)$$ para todos $n$ . Curiosamente, la propiedad de Markov $$\mathbb{P}(\xi(n+1)=s|\xi(0),\xi(1),\dots,\xi(n)) = \mathbb{P}(\xi(n+1)=s|\xi(n))$$ no figura en la hipótesis. Así que me preguntaba si está implícita en la definición, es decir, si la homogeneidad temporal para las cadenas de Markov implica la propiedad de Markov.
Gracias, señor.
PS : aquí está la definición de Rozanov más explícitamente :
Consideremos un sistema físico con las siguientes propiedades:
a) El sistema puede ocupar cualquiera de un número finito o contablemente infinito de estados $\epsilon_1,\epsilon_2,\dots$ ,
b) Partiendo de un estado inicial en el tiempo $t = 0$ el sistema cambia su aleatoriamente en los momentos $t = 1,2,\dots$ . Así, si la variable aleatoria $\xi(t)$ es el estado del sistema en el momento $t$ la evolución del sistema en el tiempo se describe mediante las transiciones consecutivas (o "pasos") $\xi(0)\to \xi(1) \to \xi(2) \to \cdots$
c) En el momento $t = 0$ el sistema ocupa el estado $\epsilon_i$ con probabilidad inicial $p_i^0=\mathbb{P}(\xi(0)=\epsilon_i)$ , $i = 1,2,\dots$ .
d) Supongamos que el sistema se encuentra en el estado $\epsilon_i$ en cualquier momento $n$ . Entonces el
probabilidad de que el sistema pase al estado $\epsilon_j$ en el siguiente paso viene dado por $$p_{i,j} = \mathbb{P}(\xi(n + 1) =\epsilon_j | \xi(n) = \epsilon_i),$$ $i,j=1,2,\dots$ independientemente de su comportamiento antes del momento $n$ . Las cifras $p_{i,j}$ llamado las probabilidades de transición, no dependen del tiempo n.
Un "proceso aleatorio" descrito por este modelo se denomina cadena de Markov.
