Confusión: distintas definiciones de la estimación MAP en modelos gráficos (MRF)

Question

1. La estimación MAP "clásica": $$\hat\theta = \arg\max_{\theta}P(\theta|\mathbf{x})$$ donde $\mathbf{x}$ son las observaciones y $\theta$ son los parámetros.

2. En este capítulo de libro (página 6, segundo punto), la estimación MAP para una MRF consiste en maximizar $P(\mathbf{x}|\mathbf{z},\theta)$ en relación con $\mathbf{x}$ donde $\mathbf{x}$ es la secuencia de estados, $\mathbf{z}$ es el conjunto de datos observados.

3. En este papel (página 2), es decir, maximizar $P(\mathbf{x}|\theta)$ .

Agradecería que alguien me aclarara la conexión entre estos tres. Gracias de antemano.

Answer 1

Tu confusión demuestra que eres una persona muy exacta ;-)

A - $\theta $ : Parámetros - $ \mathbf{x} , \mathbf{z} $ : Variables

En Bayesiano gente, cuando alguien habla de estimación se refieren a la estimación de casi cualquier cosa. Véase esto: ftp://ftp.cs.utoronto.ca/pub/radford/bayes-tut.pdf En el tutorial de Neal, página 4 estima los parámetros del modelo, dados los datos de entrada, utilizando la probabilidad de la posterior. Encontrar el maximizador le dará las estimaciones más probables (su 1ª definición). \n

Verás, tu 2ª y 3ª definición son básicamente la misma. En algunas aplicaciones podría tener alguna entrada $z$ que se suele conocer. Dado el parámetro $\theta$ la probabilidad de ver $X = x$ es: $$ p(X = x | Z = z , \Theta = \theta) $$ La observación más probable es (su segunda definición) : $$ \arg\max_{x} p(X = x | Z = z , \Theta = \theta) $$ \n

En un modelo, suponga que no tiene ninguna entrada (como el modelo de mezcla de gaussianos). Dado el parámetro $\theta$ la probabilidad de ver $X = x$ es: $$ p(X = x | \Theta = \theta) $$ La observación más probable es (su tercera definición) : $$ \arg\max_{x} p(X = x | \Theta = \theta) $$