¿Es posible multiplicar un número real por entero, de forma que la parte facticia sea lo más baja posible?

Question

Dado un número real $x$ y un número real $\epsilon>0$ arbitrariamente pequeño como sea posible, ¿podemos encontrar un número entero $n$ tal que $|nx-\left \lfloor{xn}\right \rfloor |<\epsilon$ o o $|nx-\left \lceil{xn}\right \rceil|<\epsilon$ . y si es así, ¿podemos encontrar un número exacto $n=f(x,\epsilon)$ o incluso un límite superior sobre $n$ ?

Edita: [Para $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ el conjunto $\{nx-\lfloor nx\rfloor: n\in \mathbb{N}\}$ es denso en $[0,1)$](https://math.stackexchange.com/questions/843763/for-x-in-mathbb-r-setminus-mathbb-q-the-set-nx-lfloor-nx-rfloor-n-in-ma) demostró que tales $n$ existe. Sin embargo, me gustaría saber cualquier límite superior \exact fórmula para $n$ :)

Sé que lo anterior es cierto sustituyendo la restricción anterior por $|nx-\left \lfloor{xn}\right \rfloor |<\epsilon\cdot n$ . Esto se deduce simplemente como para cada irracional $x$ existe una serie de números racionales que convergen a $x$ . Sin embargo, deseo demostrar \disprove una afirmación más generalizada.

Answer 1

He encontrado un límite superior realmente sencillo utilizando el teorema de aproximación de Dirichlet: https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_approximation_theorem

Utilizando el límite superior $n\leq\left \lceil{1/\epsilon}\right \rceil$ .

Nota: Realmente no me importa si es $|nx-\left \lfloor{xn}\right \rfloor |<\epsilon$ o $|nx-\left \lceil{xn}\right \rceil|<\epsilon$ . Actualizaré mi pregunta anterior.

Answer 2

Creo que he encontrado una forma sencilla (pero ingenua e ineficiente) de encontrar un multiplicador que genere un producto con parte fraccionaria menor que 10^-n.

Multiplica el número real por 10^n números diferentes y observa los n primeros dígitos de la parte fraccionaria de cada uno. Si dos de ellos son iguales, entonces funcionará la diferencia de los dos multiplicadores. Si no, entonces hay 10^n valores diferentes de estos n primeros dígitos, lo que significa que todas las combinaciones están cubiertas, incluyendo n ceros, que de nuevo hace el truco.

Disculpas (a) por la falta de mathjax (estoy en un teléfono y en un apuro), (b) si tengo un error out-by-1 (entonces 10^(n+1) hará), y (c) si resulta que estoy completamente equivocado.