Sea $a_1,\ldots,a_n \in \mathbb{C}$ sean números complejos que son los ceros de un polinomio real (lo que significa que los no reales vienen en pares complejos conjugados). Supongamos que estos números son tales que $$ s_\lambda(a_1,\ldots,a_n) \ge 0 $$ para cada partición $\lambda = (\lambda_1 \ge \ldots \ge \lambda_n)$ donde $s_\lambda$ denota el Polinomio de Schur asociado a $\lambda$ . ¿Implican estas desigualdades que $a_i \in \mathbb{R}_+$ para todos $i$ ?
Esto es lo que sé hasta ahora:
- Lo contrario es obvio: si $a_i \in \mathbb{R}_+$ para todos $i$ entonces la suma sobre la fórmula de Young tableaux muestra inmediatamente $s_\lambda(a_1,\ldots,a_n) \ge 0$ .
- Basta con demostrar que el $a_i$ son reales. La no negatividad se deduce entonces por la regla de los signos de Descartes al observar que las funciones simétricas elementales $s_{(1,\ldots,1)}$ son, con signos alternos, los coeficientes del polinomio $\prod_i (x-a_i)$ .
- La afirmación es cierta y fácil de demostrar para $n = 2$ basta con postular la no negatividad sólo para $\lambda = (n,0,\ldots)$ es decir, en los polinomios simétricos homogéneos completos. En estos, $$ s_{(n,0,\ldots)}(r e^{i\theta},r e^{-i\theta}) = \frac{(r e^{i\theta}))^{n+1} - (r e^{-i\theta})^{n+1}}{re^{i\theta}-re^{-i\theta}} = r^n \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin(\theta)}, $$ que para cada $\theta$ es obviamente negativo para algunos $n$ demostrando la afirmación contrapositiva. Esto sugiere que algún análisis de Fourier puede ser útil para el caso general, o tal vez la Fórmula Harish-Chandra-Itzykson-Zuber pero no sé cómo hacerlo.
