Toda sucesión convergente está acotada. ¿No necesitamos usar el valor absoluto en esta demostración?

Question

Tenemos el siguiente resultado elemental sobre sucesiones reales.

Toda sucesión convergente está acotada.

Esta es básicamente la prueba dada en mis notas:

Supongamos que $a_n \to a \in \mathbb{R}$ . Ahora elija $\epsilon = 1$ . Desde el $\epsilon-N$ definición de convergencia, $\exists N \in \mathbb{N}: n > N \implies |a_n - a| < 1$ . La desigualdad del triángulo nos da $|a_n| \leq |a| + 1$ para $n > N$ . Por lo tanto, elegir $C = \sup \{a_n | n \leq N\} \cup \{|a| + 1\}$ obtenemos $|a_n| < C$ Así que $a_n$ está limitada. $\Box$

Me parece que es posible que, para $n < N$ , $\sup \{a_n\} < -a_n$ y por lo tanto $ \sup\{a_n\} < |a_n|$ . Este será el caso si, por $n < N$ , $a_n$ es muy negativa, pero está limitada por una cantidad positiva relativamente pequeña. Por lo tanto, en realidad necesitamos $C = \sup \{|a_n| | n \leq N\} \cup \{|a| + 1\}$ para que esta prueba funcione.

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Sí, tiene razón. Todo en su prueba es correcto hasta que elija $C$ .

$|a_n|<|a|+1$ para todos $n>N$ y $|a_n|\leq\sup\{|a_n|:n\leq N\}$ Así que $|a_n|\leq \sup(\{|a_n|:n\leq N\}\cup\{|a|+1\})$ para todos $n$ .

Tome cualquier secuencia $(a_n)$ tal que $a_n<0$ y $|a_n|>|a|+1$ para todos $n\leq N$ y no estará acotada de la forma que afirma su prueba.